Bandes de confiance pour la ligne QQ

Cette question ne concerne pas spécifiquement R, mais j'ai choisi de l'utiliser Rpour l'illustrer.

Considérez le code pour produire des bandes de confiance autour d'une ligne qq (normale):

library(car)
library(MASS)
b0<-lm(deaths~.,data=road)
qqPlot(b0$resid,pch=16,line="robust")

Je cherche une explication (ou un lien alternatif vers un document papier / en ligne expliquant) comment ces bandes de confiance sont construites (j'ai vu une référence à Fox 2002 dans les fichiers d'aide de R mais malheureusement je ne l'ai pas livre à portée de main).

Ma question sera précisée avec un exemple. Voici comment Rcalcule ces CI particuliers (j'ai raccourci / simplifié le code utilisé dans car::qqPlot)

x<-b0$resid
good<-!is.na(x)
ord<-order(x[good])
ord.x<-x[good][ord]
n<-length(ord.x)
P<-ppoints(n)
z<-qnorm(P)
plot(z,ord.x,type="n")
coef<-coef(rlm(ord.x~z))
a<-coef[1]
b<-coef[2]
abline(a,b,col="red",lwd=2)
conf<-0.95
zz<-qnorm(1-(1-conf)/2)
SE<-(b/dnorm(z))*sqrt(P*(1-P)/n)     #[WHY?]
fit.value<-a+b*z
upper<-fit.value+zz*SE
lower<-fit.value-zz*SE
lines(z,upper,lty=2,lwd=2,col="red")
lines(z,lower,lty=2,lwd=2,col="red")

La question est: quelle est la justification de la formule utilisée pour calculer ces SE (par exemple la ligne SE<-(b/dnorm(z))*sqrt(P*(1-P)/n)).

FWIW cette formule est très différente de la formule des bandes de confiance habituelles utilisées en régression linéaire

confidence-interval linear-model qq-plot

— user603
source

Je suppose que cela a à voir avec la distribution des statistiques de commande

et plus particulièrementle résultat asymptotique:

f_{X_{(k)}} (x) = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} [F_{X} (x)]^{k - 1} [1 - F_{X} (x)]^{n - k} f_{X} (x)

$f_{X_{(k)}}(x) =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F_X(x)]^{k-1}[1-F_X(x)]^{n-k} f_X(x)$

X_{(⌈ n p ⌉)} \sim A N (F^{- 1} (p), \frac{p (1 - p)}{n [f (F^{- 1} (p))]^{2}})

$X_{(\lceil np \rceil)} \sim AN\left(F^{-1}(p),\frac{p(1-p)}{n[f(F^{-1}(p))]^2}\right)$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b a raison. John Fox écrit sur les pages 35-36: « L'erreur standard de la statistique de l' ordre

est

X_{(i)}

$X_{(i)}$

où

est la fonction de densité de probabilité correspondant au CDF

. Les valeurslongla ligne ajustée sont données par

. Une confiance95% environ "enveloppe" autourla ligne ajustée est,

« .

S E (X_{(i)}) = \frac{\hat{σ}}{p (z_{i})} \sqrt{\frac{P_{i} (1 - P_{i})}{n}}

$\mathrm{SE}(X_{(i)})=\frac{\hat{\sigma}}{p(z_i)}\sqrt{\frac{P_i(1-P_i)}{n}}$

p (z)

$p(z)$

P (z)

$P(z)$

{\hat{X}}_{(i)} = \hat{μ} + \hat{σ} z_{i}

$\widehat{X}_{(i)}=\hat{\mu}+\hat{\sigma}z_{i}$

{\hat{X}}_{(i)} \pm 2 \times S E (X_{(i)})

$\widehat{X}_{(i)}\pm 2\times \mathrm{SE}(X_{(i)})$

— COOLSerdash

Je pense que la seule chose qui reste à voir est que

est estimé par

dans l'équation COOLSerdash donné.

f (F^{- 1} (p))

$f(F^{-1}(p))$

(p (z_{i}) / \hat{σ})

$(p(z_i)/\hat{\sigma})$

— Glen_b -Reinstate Monica

F_{X_{(k)}} (X) = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} [F_{X} (X)]^{k - 1} [1 - F_{X} (X)]^{n - k} F_{X} (X)

$f_{X_{(k)}}(x) =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F_X(x)]^{k-1}[1-F_X(x)]^{n-k} f_X(x)$

X_{(⌈ n p ⌉)} \sim UNE N (F^{- 1} (p), \frac{p (1 - p)}{n [F (F^{- 1} (p))]^{2}})

$X_{(\lceil np \rceil)} \sim AN\left(F^{-1}(p),\frac{p(1-p)}{n[f(F^{-1}(p))]^2}\right)$

Comme COOLSerdash le mentionne dans les commentaires, John Fox [1] écrit aux pages 35-36:

$X_{(i)}$
$S E (X_{(i)}) = \frac{\hat{σ}}{p (z_{i})} \sqrt{\frac{P_{i} (1 - P_{i})}{n}}$ $\mathrm{SE}(X_{(i)})=\frac{\hat{\sigma}}{p(z_i)}\sqrt{\frac{P_i(1-P_i)}{n}}$ $p(z)$ $P(z)$ $\widehat{X}_{(i)}=\hat{\mu}+\hat{\sigma}z_{i}$ $\widehat{X}_{(i)}\pm 2\times \mathrm{SE}(X_{(i)})$ .

Ensuite, nous devons juste reconnaître que $f(F^{-1}(p))$ est estimé par $(p(z_i)/\hat{\sigma})$ .

[1] Fox, J. (2008),
Analyse de régression appliquée et modèles linéaires généralisés, 2e éd. ,
Sage Publications, Inc

— Glen_b -Reinstate Monica
source