Quelle est la distribution du rapport de deux variables aléatoires de Poisson?

J'ai une question concernant les variables aléatoires. Supposons que nous avons deux variables aléatoires $X$ et $Y$ . Disons que $X$ est Poisson distribué avec le paramètre $\lambda_1$ , et $Y$ est Poisson distribué avec le paramètre . $\lambda_2$

Lorsque vous construisez la fracture à partir de et appelez cela une variable aléatoire , comment est-elle répartie et quelle est la moyenne? Est-ce ? $X/Y$ $Z$ $\lambda_1/\lambda_2$

random-variable poisson-distribution

— MarkDollar
source

Je suis juste tombé sur cela lorsque je cherchais des références. L'inférence pour le coefficient de Poisson est assez simple, aussi bien pour les fréquentistes ( Nelson, 1970, "Confidence Intervals for the Ratio of Two Poisson Means and Poisson Predictor Intervals" ) que pour les Bayésiens (Lindley, 1965). Pas de problème avec zéro dénominateur non plus!

— Frank Tuyl

Le questionneur d'origine, et d'autres, peuvent être intéressés de noter que

a une valeur d'attente

. En fonction de votre application , cela peut être plus utile que

. Pour plus de détails, voir mon article dans le Journal of Analytical Atomic Spectrometry, 28 , 52, intitulé "Statistical biais in isotope ratios" w / DOI: 10.1039 / C2JA10205F.

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

Il s'agit d'un problème fréquemment rencontré en astronomie. La solution bayésienne a été élaborée par Park et al. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, Bayesian Estimation of Hardness Ratios: Modeling and Computations ). Ils incluent une contamination de fond dans leur traitement.

— user78543

D'après l'abstrait, il n'est pas évident qu'ils traitent de la question du PO. Comment cet article est-il lié à la distribution du rapport de deux variables aléatoires de Poisson?

— Andy

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/…

— kjetil b halvorsen

Réponses:

Je pense que vous allez avoir un problème avec ça. Parce que la variable Y aura des zéros, X / Y aura des valeurs non définies telles que vous n'obtiendrez pas de distribution.

— bill_080
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+1 C'est vrai. Mais (pour éviter une confusion possible), le problème n'est pas seulement que

peut être égal à

: c'est qu'il peut être égal à

avec une probabilité positive. (Par exemple, un quotient de normales a une distribution même si le dénominateur peut être égal à

) Ainsi,

est indéfini avec une probabilité positive, ce qui rend sa moyenne (et tout autre moment) indéfinie également.

Y

$Y$

0

$0$

0

$0$

0

$0$

X / Y

$X/Y$

— whuber

+1, mais dans la littérature sur les taux de fausses découvertes, les gens n'ont aucun problème avec

où

est le vrai positif et

est le nombre total de positifs :-). Il est toujours entendu, par convention, que 0 sur 0 est égal à 0.

X / Y

$X/Y$

X

$X$

Y

$Y$

— NRH

@Mark: Il est probablement préférable de poser cette question en tant que nouvelle question et d'obtenir des informations précises sur ce que vous essayez de réaliser.

— bill_080

@NRH Dans votre cas , il y a une forte dépendance de

sur

. Cela change complètement les choses, car maintenant la probabilité d'un rapport positif: zéro est nulle.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@whuber, c'est bien sûr vrai. Merci d'avoir fait remarquer cela. Je pensais simplement qu'il y avait peut-être une convention non déclarée pour donner un sens au problème. Mais d'après le commentaire de @ MarkDollar ci-dessus, il semble que ce n'était pas le cas au départ.

— NRH

En réalisant que le rapport n'est en fait pas un ensemble mesurable bien défini, nous redéfinissons le rapport comme un ensemble correctement mesurable

P [\frac{X}{Y} \leq r] := P [X \leq r Y] = \sum_{y = 0}^{\infty} \sum_{x = 0}^{⌊ r y ⌋} \frac{λ_{2}^{y}}{y!} e^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{x}}{x!} e^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$

r > 0

$r > 0$

X

$X$

Y

$Y$

— Aaron Sheldon
source

Suppose that

Y

$Y$ comes from a zero-truncated Poisson distribution. Would the answer then be:

— Brash Equilibrium