CDF élevé au pouvoir?

Si est un CDF, il semble que ( ) soit également un CDF.$F_Z$$F_Z(z)^\alpha$$\alpha \gt 0$

Q: Est-ce un résultat standard?

Q: Existe-t-il un bon moyen de trouver une fonction avec X \ equiv g (Z) st F_X (x) = F_Z (z) ^ \ alpha , où x \ equiv g (z)$g$$X \equiv g(Z)$$F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$$x \equiv g(z)$

Fondamentalement, j'ai un autre CDF en main, $F_Z(z)^\alpha$ . Dans un sens réduit, j'aimerais caractériser la variable aléatoire qui produit ce CDF.

EDIT: Je serais heureux si je pouvais obtenir un résultat analytique pour le cas spécial . Ou du moins sachez qu'un tel résultat est insoluble.$Z \sim N(0,1)$

J'aime les autres réponses, mais personne n'a encore mentionné ce qui suit. L'événement $\{U \leq t,\ V\leq t \}$ se produit si et seulement si $\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$ , donc si $U$ et $V$ sont indépendants et $W = \mathrm{max}(U,V)$ , alors $F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$ de manière à$\alpha$ un nombre entier positif (exemple,$\alpha = n$ ) prendre$X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$ où les$Z$ s » sont iid

Pour $\alpha = 1/n$ nous pouvons changer pour obtenir $F_{Z} = F_{X}^n$ , donc $X$ serait cette variable aléatoire telle que le maximum de $n$ copies indépendantes a la même distribution que $Z$ (et ce ne serait pas l'un de nos amis familiers , en général).

Le cas de $\alpha$ un nombre rationnel positif (disons, ) découle du précédent depuis $\alpha = m/n$

$$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$$

Pour an irrationnel, choisissez une séquence de rationnels positifs convergeant vers ; alors la séquence (où nous pouvons utiliser nos astuces ci-dessus pour chaque ) convergera en distribution vers le souhaité.$\alpha$$a_{k}$$\alpha$$X_{k}$$k$$X$

Ce n'est peut-être pas la caractérisation que vous recherchez, mais cela donne au moins une idée de la façon de penser pour convenablement. D'un autre côté, je ne sais pas vraiment à quel point cela peut vraiment être plus agréable: vous avez déjà le CDF, donc la règle de chaîne vous donne le PDF, et vous pouvez calculer les moments jusqu'au coucher du soleil ...? Il est vrai que la plupart des n'auront pas de familier pour , mais si je voulais jouer avec un exemple pour chercher quelque chose d'intéressant, je pourrais essayer distribué uniformément sur l'intervalle d'unité avec , .$F_{Z}^{\alpha}$$\alpha$$Z$$X$$\alpha = \sqrt{2}$$Z$$F(z) = z$$0<z<1$

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EDIT: J'ai écrit quelques commentaires dans la réponse @JMS, et il y avait une question sur mon arithmétique, donc je vais écrire ce que je voulais dire dans l'espoir que ce soit plus clair.

@cardinal correctement dans le commentaire à la réponse @JMS a écrit que le problème se simplifie en ou plus généralement lorsque n'est pas nécessairement , nous avons Mon point était que lorsque a une belle fonction inverse, nous pouvons simplement résoudre la fonction avec l'algèbre de base. J'ai écrit dans le commentaire que devrait être

$$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$$ $Z$$N(0,1)$ $$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$$ $F$$y = g(x)$$g$ $$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$$

Prenons un cas spécial, branchons les choses et voyons comment cela fonctionne. Soit une distribution Exp (1), avec CDF et CDF inverse Il est facile de tout brancher pour trouver ; une fois que nous avons terminé, nous obtenons Donc, en résumé , mon affirmation est que si et si nous définissons alors aura un CDF qui ressemble à Nous pouvons le prouver directement (regardez$X$

$$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$$ $$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$$ $g$ $$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$$ $X \sim \mathrm{Exp}(1)$ $$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$$ $Y$ $$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$$ $P(Y \leq y)$ et utiliser l'algèbre pour obtenir l'expression, dans l'avant-dernière étape, nous avons besoin de la transformation intégrale de probabilité). Juste dans le cas (souvent répété) où je suis fou, j'ai fait quelques simulations pour vérifier que cela fonctionne, ... et c'est le cas. Voir ci-dessous. Pour faciliter le code, j'ai utilisé deux faits: $$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$$ $$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$$

Le tracé des résultats de la simulation suit.

Le code R utilisé pour générer le tracé (moins les étiquettes) est

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

La coupe a l'air plutôt bien, je pense? Peut-être que je ne suis pas fou (cette fois)?

Preuve sans mots

La courbe bleue inférieure est , la courbe rouge supérieure est F α (en typant le cas α < 1 ), et les flèches indiquent comment passer de z à x = g ( z ) .$F$$F^\alpha$$\alpha \lt 1$$z$$x = g(z)$

Q1) Oui. Il est également utile pour générer des variables qui sont ordonnées stochastiquement; vous pouvez le voir sur la jolie photo de @ whuber :). permute l'ordre stochastique.$\alpha>1$

Que ce soit un cdf valide est juste une question de vérification des conditions requises: doit être cadlag , non décroissant et limité à 1 à l'infini et 0 à l'infini négatif. F z a ces propriétés donc elles sont toutes faciles à montrer.$F_z(z)^\alpha$$1$$0$$F_z$

Q2) Il semble que ce serait assez difficile analytiquement, à moins que soit spécial$F_Z$