Transformation d'Anscombe et approximation normale

La transformation d'Anscombe est . $a(x) = 2\sqrt{x+3/8}$

Quelqu'un peut-il me montrer comment prouver qu'une version transformée par Anscombe $Y = a(X)$ d'une variable aléatoire distribuée de Poisson $X$ est approximativement normale (quand $\lambda>4$ )?

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— MarkDollar
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Astuce : méthode Delta. (Consultez également les transformations stabilisant la variance , ce qui fait partie de la motivation.)

— Cardinal

Merci Mpikts! Je vais être très honnête, je ne sais pas vraiment par où commencer. Quels sont les principaux outils et le "départ" dont j'ai besoin pour le prouver?

— MarkDollar

Voici une esquisse d'une preuve qui combine trois idées: (a) la méthode delta, (b) les transformations de stabilisation de variance et (c) la fermeture de la distribution de Poisson sous des sommes indépendantes.

Considérons d'abord une séquence de variables aléatoires iid Poisson avec une moyenne . Ensuite, le théorème central limite affirme que $X_1, X_2, \ldots$ $\lambda > 0$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - λ) \overset{d}{\to} N (0, λ) .

$\newcommand{\barX}{\bar{X}_n}\newcommand{\convd}{\,\xrightarrow{\,d\,}\,}\newcommand{\Nml}{\mathcal{N}} \sqrt{n} (\barX - \lambda) \convd \Nml(0,\lambda) \> .$

Notez que la variance asymptotique dépend du paramètre (probablement inconnu) . Ce serait bien si nous pouvions trouver une fonction des données autre que telle sorte qu'après centrage et redimensionnement, elle avait la même variance asymptotique quel que soit le paramètre . $\lambda$ $\bar{X}_n$ $\lambda$

La méthode delta fournit un moyen pratique pour déterminer la distribution des fonctions lisses de certaines statistiques dont la distribution limite est déjà connue. Soit une fonction à dérivée première continue telle que . Ensuite, par la méthode delta (spécialisée dans notre cas particulier), $g$ $g'(\lambda) \neq 0$

\sqrt{n} (g ({\bar{X}}_{n}) - g (λ)) \overset{d}{\to} N (0, λ g^{'} (λ)^{2}) .

$\sqrt{n}\big(g(\barX) - g(\lambda)\big) \convd \Nml(0, \lambda g'(\lambda)^2) \>.$

Alors, comment pouvons-nous rendre la variance asymptotique constante (par exemple, la valeur ) pour tous les possibles ? D'après l'expression ci-dessus, nous savons que nous devons résoudre $1$ $\lambda$

g^{'} (λ) = λ^{- 1 / 2} .

$g'(\lambda) = \lambda^{-1/2} \>.$

Il n'est pas difficile de voir que l'antidérivative générale est pour tout , et la distribution limite est invariante au choix de (par soustraction), donc nous pouvons définir sans perte de généralité. Une telle fonction est appelée transformation stabilisatrice de variance . $g(\lambda) = 2 \sqrt{\lambda} + c$ $c$ $c$ $c = 0$ $g$

Par conséquent, par la méthode delta et notre choix de , nous concluons que $g$

\sqrt{n} (2 \sqrt{{\bar{X}}_{n}} - 2 \sqrt{λ}) \overset{d}{\to} N (0, 1) .

$\sqrt{n}\Big(2\sqrt{\barX} - 2\sqrt{\lambda}\Big) \convd \Nml(0, 1) \>.$

Maintenant, la distribution de Poisson est fermée sous des sommes indépendantes. Donc, si est Poisson avec une moyenne , alors il existe des variables aléatoires qui sont iid Poisson avec une moyenne telle que a la même distribution que . Cela motive l'approximation dans le cas d'une seule variable aléatoire de Poisson. $X$ $\lambda$ $Z_1, \ldots, Z_n$ $\lambda/n$ $\sum_{i=1}^n Z_i$ $X$

Ce qu'Anscombe (1948) a trouvé, c'est que modifier la transformation (légèrement) en pour une constante fonctionnait mieux pour les plus petits . Dans ce cas, est à peu près optimal. $g$ $\tilde{g}(\lambda) = 2\sqrt{\lambda + b}$ $b$ $\lambda$ $b = 3/8$

Notez que cette modification "détruit" la véritable propriété stabilisatrice de variance de , c'est-à-dire que n'est pas stabilisatrice de variance au sens strict. Mais, il est proche et donne de meilleurs résultats pour des plus petits . $g$ $\tilde{g}$ $\lambda$

— cardinal
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