Distribution du quotient de Rayleigh

Pour un projet de recherche, je dois trouver la valeur attendue du quotient de Rayleigh généralisé: Ici A et B sont des matrices de covariance p x p déterministes définies positives , et w suit une distribution multivariée avec des lignes d'altitude circulaires (par exemple, la norme standard multivariée). La dimension p est supérieure à 100.

E [w^{T} A w / w^{T} B w] .

$E\,[w^T A w \ / \ w^T B w].$

Ce problème est facile à résoudre en utilisant la simulation; cependant, je me demandais si quelqu'un pouvait savoir comment ce problème pouvait être résolu (ou approximé) analytiquement. Ma première idée était que, selon le théorème de la limite centrale de Lindeberg ou de Lyapunov, le numérateur et le dénominateur sont distribués approximativement normalement, ce qui nous donne un rapport de deux variables aléatoires normales (corrélées), mais la simulation montre que ce n'est pas le cas.

distributions expected-value

— Statistiques
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Connaissez-vous autre chose au sujet de la relation entre et ou des propriétés au-delà du simple caractère positif? Selon une certaine interprétation de la «distribution circulaire» (c'est-à-dire invariante sous les transformations orthogonales), nous pouvons supposer wlog que ou est diagonale. Aucune hypothèse de définition positive de l'un ou de l'autre n'est même nécessaire pour cela.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— cardinal

A et B sont des matrices de corrélation. Ils sont assez similaires, mais pas identiques.

— Statistiques

Peut-être que mon choix de «distribution circulaire» n'était pas idéal. Ce que je veux dire, c'est une distribution elliptique où les variables aléatoires w_i sont indépendantes - par exemple la distribution normale standard.

— Statistiques

En cas de distribution normale, une solution peut être trouvée dans Mathai et Provost, Formes quadratiques à variables aléatoires (1992). Les moments inverses et produits de ces formes quadratiques y sont dérivés de la fonction de génération de moment.

Les formes quadratiques dans les distributions elliptiques et leurs moments sont traités dans Mathai, Provost et Hayakawa, les formes bilinéaires et les polynômes zonaux (1995), mais pas dans la même mesure que dans le cas normal. Comme les distributions elliptiques sont généralement définies en fonction de leur fonction caractéristique , cette fonction apparaîtra dans la solution si l'on choisit l'approche mgf. Pourtant, il n'a jamais été calculé, afaik. $e^{it\mu}\xi(t'\Sigma t)$ $\xi$

— Horst Grünbusch
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