Des distributions stables qui peuvent être multipliées?

Les distributions stables sont invariantes sous convolutions. Quelles sous-familles des distributions stables sont également fermées par multiplication? En ce sens que si et , alors la fonction de densité de probabilité du produit, (jusqu'à une constante de normalisation) appartient aussi à ? $F$ $f\in F$ $g\in F$ $f \cdot g$ $F$

Remarque: j'ai considérablement modifié le contenu de cette question. Mais l'idée est essentiellement la même, et maintenant elle est beaucoup plus simple. Je n'ai eu qu'une réponse partielle, donc je pense que ça va.

distributions convolution stable-distribution

— Becko
source

Si le domaine est borné, la moyenne et la variance (en fait tous les moments) doivent être finies. Dans quelle mesure êtes-vous certain que des distributions connues existent et remplissent toutes les conditions?

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b S'il est possible de prouver qu'aucune distribution n'existe avec toutes ces conditions, j'accepterai une réponse avec cette preuve.

— Becko

Quelle est précisément "la" distribution uniforme bornée dans (5)? S'agit-il d'une distribution (et si oui, quels sont ses paramètres), ou s'agit-il d'une famille de distributions uniformes (et si oui, de quelle famille s'agit-il)?

— whuber

(1) Par "sous-famille", entendez-vous les distributions stables ? (2a) Si oui, alors étant donné que le produit des Gaussiens est évidemment un autre Gaussien, vous avez une réponse immédiate dans le positif. (2b) Sinon, il y a une myriade de réponses. Commencez avec n'importe quelle famille

de distributions continues avec une densité partout positive. La plus petite famille contenant du

et fermée sous des produits renormalisés de fonctions de densité fait l'affaire. Vous pouvez les calculer explicitement lorsque

n'a qu'un seul élément.

F

$\mathcal F$

F

$\mathcal F$

F

$\mathcal F$

— whuber

@whuber Oui, je veux dire une sous-famille des distributions stables. Vous avez raison, un gaussien satisfait mes critères. En fait, je cherchais d'autres exemples, mais j'ai oublié de le mentionner. Y a-t-il d'autres distributions qui répondent également à mes critères? Je mettrai à jour la question, merci de m'avoir aidé à la clarifier.

— Becko

Réponses:

Une «distribution stable» est un type particulier de famille de distributions à l'échelle de l'emplacement. La classe des distributions stables est paramétrée par deux nombres réels, la stabilité et l' asymétrie . $\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

Un résultat cité dans l'article Wikipédia résout cette question de la fermeture sous les produits des fonctions de densité. Lorsque est la densité d'une distribution stable avec , alors asymptotiquement $f$ $\alpha \lt 2$

f (x) \sim | x |^{- (1 + α)} g (sgn (x), α, β)

$f(x) \sim |x|^{-(1+\alpha)} g(\operatorname{sgn}(x), \alpha, \beta)$

$g$ $g$ $x$ $x$ $|x|^{-2(1+\alpha)}$ $2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

$3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$ $\alpha^\prime\in(0,2]$

$\alpha=2$ $\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$ $\mu$ $\sigma$ $x$ $x$

La réponse unique est donc que la famille de distribution normale est la seule distribution stable fermée par le produit de la densité.

— whuber
source

Cool! C'est alors une belle façon de définir une distribution normale, comme l'unique sous-produits stables et fermés. Merci

— Becko

Je sais que c'est une réponse partielle et je ne suis pas un expert, mais cela pourrait aider: si l'un des deux fichiers PDF unimodaux est log-concave, alors leur convolution est unimodale. Dû à Ibragimov (1956) , via ces notes . Apparemment, si les deux sont log-concaves, la convolution est également log-concave.

En ce qui concerne la fermeture du produit, le seul « propre » résultat que je connais pour les distributions de produits est la limite théorème décrit dans cette réponse math.se .

Que diriez-vous d'une version tronquée de ceux - ci ? La distribution uniforme bornée est un cas limite de son paramètre de forme, et autant que je sache, ils sont unimodaux et log-concaves, donc ils ont des convolutions unimodales, log-concaves. Je n'ai aucune idée de leurs produits. Lorsque j'aurai plus de temps plus tard cette semaine, je pourrais essayer de lancer des simulations pour voir si j'obtiens des produits log-concaves de distributions d'erreurs tronquées. Peut-être que Govindarajulu (1966) aiderait.

Je ne sais pas quelle est la politique sur le crossposting, mais il semble que les gens de math.se pourraient également vous aider. Par curiosité, essayez-vous de construire une structure algébrique à partir de distributions de probabilités?

— shadowtalker
source

La politique de crossposting est contenue dans la toute première page de l'aide. Il dit «s'il vous plaît, ne traversez pas» Nous devons choisir le meilleur site pour notre question. Une question peut être migrée si nécessaire. Si une partie d'une question est mieux adaptée à un autre site, la question doit être posée en deux questions distinctes (qui peuvent être liées).

— Glen_b -Reinstate Monica