tendance stochastique vs déterministe / saisonnalité dans les prévisions de séries chronologiques

J'ai une formation modérée en prévision de séries chronologiques. J'ai regardé plusieurs livres de prévisions et je ne vois pas les questions suivantes abordées dans aucun d'entre eux.

J'ai deux questions:

1. Comment pourrais-je déterminer objectivement (via un test statistique) si une série temporelle donnée a:

   • Saisonnalité stochastique ou saisonnalité déterministe
   • Tendance stochastique ou tendance déterministe

2. Que se passerait-il si je modélisais ma série temporelle comme une tendance / saisonnalité déterministe lorsque la série a une composante clairement stochastique?

Toute aide pour répondre à ces questions serait grandement appréciée.

Exemple de données pour la tendance:

7,657
5,451
10,883
9,554
9,519
10,047
10,663
10,864
11,447
12,710
15,169
16,205
14,507
15,400
16,800
19,000
20,198
18,573
19,375
21,032
23,250
25,219
28,549
29,759
28,262
28,506
33,885
34,776
35,347
34,628
33,043
30,214
31,013
31,496
34,115
33,433
34,198
35,863
37,789
34,561
36,434
34,371
33,307
33,295
36,514
36,593
38,311
42,773
45,000
46,000
42,000
47,000
47,500
48,000
48,500
47,000
48,900

1) Concernant votre première question, des statistiques de tests ont été développées et discutées dans la littérature pour tester le nul de stationnarité et le nul d'une racine unitaire. Certains des nombreux articles qui ont été écrits sur cette question sont les suivants:

Liés à la tendance:

• Dickey, D. y Fuller, W. (1979a), Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root, Journal of the American Statistical Association 74, 427-31.
• Dickey, D. et Fuller, W. (1981), Statistiques du rapport de vraisemblance pour les séries chronologiques autorégressives avec une racine unitaire, Econometrica 49, 1057-1071.
• Kwiatkowski, D., Phillips, P., Schmidt, P. y Shin, Y. (1992), Test de l'hypothèse nulle de stationnarité par rapport à l'alternative d'une racine unitaire: dans quelle mesure sommes-nous sûrs que les séries chronologiques économiques ont une racine unitaire? , Journal of Econometrics 54, 159-178.
• Phillips, P. y Perron, P. (1988), Testing for a unit root in time series regression, Biometrika 75, 335-46.
• Durlauf, S.y Phillips, P. (1988), Tendances versus marches aléatoires dans l'analyse des séries chronologiques, Econometrica 56, 1333-54.

Relatif à la composante saisonnière:

• Hylleberg, S., Engle, R., Granger, C. y Yoo, B. (1990), Seasonal integration and cointegration, Journal of Econometrics 44, 215-38.
• Canova, F. y Hansen, BE (1995), Les tendances saisonnières sont-elles constantes dans le temps? un test de stabilité saisonnière, Journal of Business and Economic Statistics 13, 237-252.
• Franses, P. (1990), Test des racines unitaires saisonnières dans les données mensuelles, rapport technique 9032, Econometric Institute.
• Ghysels, E., Lee, H. y Noh, J. (1994), Test des racines unitaires dans les séries chronologiques saisonnières. quelques extensions théoriques et une enquête de monte carlo, Journal of Econometrics 62, 415-442.

Le manuel Banerjee, A., Dolado, J., Galbraith, J.y Hendry, D. (1993), Co-Integration, Error Correction, and the econometric analysis of non-stationary data, Advanced Texts in Econometrics. Oxford University Press est également une bonne référence.

2) Votre deuxième préoccupation est justifiée par la littérature. S'il existe un test de racine unitaire, la statistique t traditionnelle que vous appliqueriez sur une tendance linéaire ne suit pas la distribution standard. Voir par exemple, Phillips, P. (1987), Régression de séries chronologiques avec racine unitaire, Econometrica 55 (2), 277-301.

Si une racine unitaire existe et est ignorée, alors la probabilité de rejeter le zéro que le coefficient d'une tendance linéaire est zéro est réduite. Autrement dit, nous finirions par modéliser une tendance linéaire déterministe trop souvent pour un niveau de signification donné. En présence d'une racine unitaire, nous devrions plutôt transformer les données en prenant des différences régulières avec les données.

3) À titre d'illustration, si vous utilisez R, vous pouvez effectuer l'analyse suivante avec vos données.

x <- structure(c(7657, 5451, 10883, 9554, 9519, 10047, 10663, 10864, 
  11447, 12710, 15169, 16205, 14507, 15400, 16800, 19000, 20198, 
  18573, 19375, 21032, 23250, 25219, 28549, 29759, 28262, 28506, 
  33885, 34776, 35347, 34628, 33043, 30214, 31013, 31496, 34115, 
  33433, 34198, 35863, 37789, 34561, 36434, 34371, 33307, 33295, 
  36514, 36593, 38311, 42773, 45000, 46000, 42000, 47000, 47500, 
  48000, 48500, 47000, 48900), .Tsp = c(1, 57, 1), class = "ts")

Tout d'abord, vous pouvez appliquer le test Dickey-Fuller pour le zéro d'une racine unitaire:

require(tseries)
adf.test(x, alternative = "explosive")
#   Augmented Dickey-Fuller Test
#   Dickey-Fuller = -2.0685, Lag order = 3, p-value = 0.453
#   alternative hypothesis: explosive

et le test KPSS pour l'hypothèse nulle inverse, stationnarité contre l'alternative de stationnarité autour d'une tendance linéaire:

kpss.test(x, null = "Trend", lshort = TRUE)
#   KPSS Test for Trend Stationarity
#   KPSS Trend = 0.2691, Truncation lag parameter = 1, p-value = 0.01

Résultats: test ADF, au niveau de signification de 5%, une racine unitaire n'est pas rejetée; Test KPSS, le nul de stationnarité est rejeté au profit d'un modèle à tendance linéaire.

Remarque: l'utilisation de lshort=FALSEla valeur nulle du test KPSS n'est pas rejetée au niveau de 5%, mais elle sélectionne 5 retards; une inspection supplémentaire non présentée ici a suggéré que le choix de 1 à 3 décalages est approprié pour les données et conduit à rejeter l'hypothèse nulle.

En principe, nous devons nous guider par le test pour lequel nous avons pu rejeter l'hypothèse nulle (plutôt que par le test pour lequel nous n'avons pas rejeté (nous avons accepté) le nul). Cependant, une régression de la série originale sur une tendance linéaire se révèle non fiable. D'une part, le carré R est élevé (plus de 90%), ce qui est indiqué dans la littérature comme un indicateur de régression parasite.

fit <- lm(x ~ 1 + poly(c(time(x))))
summary(fit)
#Coefficients:
#                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#(Intercept)       28499.3      381.6   74.69   <2e-16 ***
#poly(c(time(x)))  91387.5     2880.9   31.72   <2e-16 ***
#---
#Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
#Residual standard error: 2881 on 55 degrees of freedom
#Multiple R-squared:  0.9482,   Adjusted R-squared:  0.9472 
#F-statistic:  1006 on 1 and 55 DF,  p-value: < 2.2e-16

En revanche, les résidus sont autocorrélés:

acf(residuals(fit)) # not displayed to save space

De plus, la valeur nulle d'une racine unitaire dans les résidus ne peut être rejetée.

adf.test(residuals(fit))
#   Augmented Dickey-Fuller Test
#Dickey-Fuller = -2.0685, Lag order = 3, p-value = 0.547
#alternative hypothesis: stationary

À ce stade, vous pouvez choisir un modèle à utiliser pour obtenir des prévisions. Par exemple, les prévisions basées sur un modèle structurel de séries chronologiques et sur un modèle ARIMA peuvent être obtenues comme suit.

# StructTS
fit1 <- StructTS(x, type = "trend")
fit1
#Variances:
# level    slope  epsilon  
#2982955        0   487180 
# 
# forecasts
p1 <- predict(fit1, 10, main = "Local trend model")
p1$pred
# [1] 49466.53 50150.56 50834.59 51518.62 52202.65 52886.68 53570.70 54254.73
# [9] 54938.76 55622.79

# ARIMA
require(forecast)
fit2 <- auto.arima(x, ic="bic", allowdrift = TRUE)
fit2
#ARIMA(0,1,0) with drift         
#Coefficients:
#         drift
#      736.4821
#s.e.  267.0055
#sigma^2 estimated as 3992341:  log likelihood=-495.54
#AIC=995.09   AICc=995.31   BIC=999.14
#
# forecasts
p2 <- forecast(fit2, 10, main = "ARIMA model")
p2$mean
# [1] 49636.48 50372.96 51109.45 51845.93 52582.41 53318.89 54055.37 54791.86
# [9] 55528.34 56264.82

Un tracé des prévisions:

par(mfrow = c(2, 1), mar = c(2.5,2.2,2,2))
plot((cbind(x, p1$pred)), plot.type = "single", type = "n", 
  ylim = range(c(x, p1$pred + 1.96 * p1$se)), main = "Local trend model")
grid()
lines(x)
lines(p1$pred, col = "blue")
lines(p1$pred + 1.96 * p1$se, col = "red", lty = 2)
lines(p1$pred - 1.96 * p1$se, col = "red", lty = 2)
legend("topleft", legend = c("forecasts", "95% confidence interval"), 
  lty = c(1,2), col = c("blue", "red"), bty = "n")
plot((cbind(x, p2$mean)), plot.type = "single", type = "n", 
  ylim = range(c(x, p2$upper)), main = "ARIMA (0,1,0) with drift")
grid()
lines(x)
lines(p2$mean, col = "blue")
lines(ts(p2$lower[,2], start = end(x)[1] + 1), col = "red", lty = 2)
lines(ts(p2$upper[,2], start = end(x)[1] + 1), col = "red", lty = 2)

Les prévisions sont similaires dans les deux cas et semblent raisonnables. Notez que les prévisions suivent un modèle relativement déterministe similaire à une tendance linéaire, mais nous n'avons pas modélisé explicitement une tendance linéaire. La raison en est la suivante: i) dans le modèle de tendance locale, la variance de la composante de pente est estimée à zéro. Cela transforme la composante de tendance en une dérive qui a l'effet d'une tendance linéaire. ii) ARIMA (0,1,1), un modèle avec dérive est sélectionné dans un modèle pour la série différenciée. L'effet du terme constant sur une série différenciée est une tendance linéaire. Ceci est discuté dans ce post .

Vous pouvez vérifier que si un modèle local ou un ARIMA (0,1,0) sans dérive est choisi, alors les prévisions sont une ligne horizontale droite et, par conséquent, n'auraient aucune ressemblance avec la dynamique observée des données. Eh bien, cela fait partie du puzzle des tests de racine unitaire et des composants déterministes.

Edit 1 (inspection des résidus): L'autocorrélation et l'ACF partielle ne suggèrent pas de structure dans les résidus.

resid1 <- residuals(fit1)
resid2 <- residuals(fit2)
par(mfrow = c(2, 2))
acf(resid1, lag.max = 20, main = "ACF residuals. Local trend model")
pacf(resid1, lag.max = 20, main = "PACF residuals. Local trend model")
acf(resid2, lag.max = 20, main = "ACF residuals. ARIMA(0,1,0) with drift")
pacf(resid2, lag.max = 20, main = "PACF residuals. ARIMA(0,1,0) with drift")

Comme l'a suggéré IrishStat, il est également recommandé de vérifier la présence de valeurs aberrantes. Deux valeurs aberrantes additives sont détectées à l'aide du package tsoutliers.

require(tsoutliers)
resol <- tsoutliers(x, types = c("AO", "LS", "TC"), 
  remove.method = "bottom-up", 
  args.tsmethod = list(ic="bic", allowdrift=TRUE))
resol
#ARIMA(0,1,0) with drift         
#Coefficients:
#         drift        AO2       AO51
#      736.4821  -3819.000  -4500.000
#s.e.  220.6171   1167.396   1167.397
#sigma^2 estimated as 2725622:  log likelihood=-485.05
#AIC=978.09   AICc=978.88   BIC=986.2
#Outliers:
#  type ind time coefhat  tstat
#1   AO   2    2   -3819 -3.271
#2   AO  51   51   -4500 -3.855

En regardant l'ACF, nous pouvons dire qu'au niveau de signification de 5%, les résidus sont également aléatoires dans ce modèle.

par(mfrow = c(2, 1))
acf(residuals(resol$fit), lag.max = 20, main = "ACF residuals. ARIMA with additive outliers")
pacf(residuals(resol$fit), lag.max = 20, main = "PACF residuals. ARIMA with additive outliers")

Dans ce cas, la présence de valeurs aberrantes potentielles ne semble pas fausser les performances des modèles. Ceci est soutenu par le test de Jarque-Bera pour la normalité; le zéro de normalité dans les résidus des modèles initiaux ( fit1, fit2) n'est pas rejeté au niveau de signification de 5%.

jarque.bera.test(resid1)[[1]]
# X-squared = 0.3221, df = 2, p-value = 0.8513
jarque.bera.test(resid2)[[1]]
#X-squared = 0.426, df = 2, p-value = 0.8082

Edit 2 (tracé des résidus et leurs valeurs) Voici à quoi ressemblent les résidus:

Et ce sont leurs valeurs au format csv:

0;6.9205
-0.9571;-2942.4821
2.6108;4695.5179
-0.5453;-2065.4821
-0.2026;-771.4821
0.1242;-208.4821
0.1909;-120.4821
-0.0179;-535.4821
0.1449;-153.4821
0.484;526.5179
1.0748;1722.5179
0.3818;299.5179
-1.061;-2434.4821
0.0996;156.5179
0.4805;663.5179
0.8969;1463.5179
0.4111;461.5179
-1.0595;-2361.4821
0.0098;65.5179
0.5605;920.5179
0.8835;1481.5179
0.7669;1232.5179
1.4024;2593.5179
0.3785;473.5179
-1.1032;-2233.4821
-0.3813;-492.4821
2.2745;4642.5179
0.2935;154.5179
-0.1138;-165.4821
-0.8035;-1455.4821
-1.2982;-2321.4821
-1.9463;-3565.4821
-0.1648;62.5179
-0.1022;-253.4821
0.9755;1882.5179
-0.5662;-1418.4821
-0.0176;28.5179
0.5;928.5179
0.6831;1189.5179
-1.8889;-3964.4821
0.3896;1136.5179
-1.3113;-2799.4821
-0.9934;-1800.4821
-0.4085;-748.4821
1.2902;2482.5179
-0.0996;-657.4821
0.5539;981.5179
2.0007;3725.5179
1.0227;1490.5179
0.27;263.5179
-2.336;-4736.4821
1.8994;4263.5179
0.1301;-236.4821
-0.0892;-236.4821
-0.1148;-236.4821
-1.1207;-2236.4821
0.4801;1163.5179

En ce qui concerne vos données non saisonnières ... Les tendances peuvent prendre deux formes y (t) = y (t − 1) + θ0 (A) Tendance stochastique ou Y (t) = a + bx1 + cx2 (B) Déterministe Tendance etc où x1 = 1,2,3,4 .... t et x2 = 0,0,0,0,0,1,2,3,4 donc une tendance s'applique aux observations 1 − t et une deuxième tendance s'applique aux observations 6 à t.

Votre série non saisonnière contenait 29 valeurs. J'ai utilisé AUTOBOX un logiciel que j'avais aidé à développer de manière totalement automatique. AUTOBOX est une procédure transparente car elle détaille chaque étape du processus de modélisation. Un graphique des séries / valeurs ajustées / prévisions est présenté ici . L'utilisation d'AUTOBOX pour former un modèle de type A a conduit à ce qui suit . L'équation est présentée à nouveau ici , Les statistiques du modèle sont . Un graphique des résidus est ici tandis que le tableau des valeurs prévues est ici . Restreindre AUTOBOX à un modèle de type B a conduit AUTOBOX à détecter une tendance à la hausse à la période 14 :. !

En termes de comparaison des modèles: Étant donné que le nombre d'observations ajustées diffère (26 et 29 respectivement), il n'est pas possible d'utiliser des métriques standard (c.-à-d. R-carré, écart-type d'erreur, AIC, etc.) pour déterminer la dominance bien que dans ce cas, le signe de tête serait passez à A. Les résidus de A sont meilleurs grâce à la structure AR (2). Les prévisions de B sont un peu agressives tandis que le modèle des prévisions de A est plus intuitif. On pourrait retenir disons 4 observations et évaluer l'exactitude des prévisions pour une prévision à 1 période de 4 origines distinctes (25,26,27 et 28).