Fonctions de génération de moment et transformations de Fourier?

Une fonction génératrice de moments est-elle une transformée de Fourier d' une fonction de densité de probabilité?

En d'autres termes, une fonction génératrice de moments est-elle simplement la résolution spectrale d'une distribution de densité de probabilité d'une variable aléatoire, c'est-à-dire une manière équivalente de caractériser une fonction en termes d' amplitude, de phase et de fréquence plutôt qu'en termes de paramètre?

Si oui, pouvons-nous donner une interprétation physique à cette bête?

Je pose la question parce qu'en physique statistique, une fonction génératrice de cumul , le logarithme d'une fonction génératrice de moments, est une quantité additive qui caractérise un système physique. Si vous considérez l'énergie comme une variable aléatoire, sa fonction de génération de cumul a une interprétation très intuitive comme la propagation de l'énergie dans un système. Existe-t-il une interprétation intuitive similaire pour la fonction de génération de moment?

Je comprends l' utilité mathématique de celui-ci, mais ce n'est pas seulement un concept astucieux, il y a sûrement un sens derrière cela conceptuellement?

moments mgf cumulants

— bolbteppa
source

Je pense que c'est la fonction caractéristique qui ressemble le plus à la transformée de Fourier. La fonction de génération de moment est une transformée de Laplace.

— Placidia

Intéressant: "La transformée de Laplace est liée à la transformée de Fourier, mais alors que la transformée de Fourier résout une fonction ou un signal dans ses modes de vibration, la transformée de Laplace résout une fonction dans ses moments" princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/ docs /… Alors je suppose que la question est - comment, intuitivement, une Laplace transforme-t-elle la décomposition d'une fonction en ses moments, et y a-t-il une interprétation géométrique de cela?

— bolbteppa

Il le fait grâce à l'expansion de la série exponentielle de la fonction Taylor.

— Placidia

Maintenant, tout a presque un sens! Mais qu'est-ce qu'un instant exactement, intuitivement? Je sais ceci: "D'une manière générale, un moment peut être considéré comme la façon dont un échantillon diverge de la valeur moyenne d'un signal - le premier moment est en fait la moyenne, le second est la variance, etc ..." dsp.stackexchange.com/a/ 11032 Cependant, qu'est-ce que cela signifie intuitivement? Quel est l'échantillon lors du calcul du 1er / 2e / 3e / 4e moment de disons, x ^ 2 (en prenant une transformée de Laplace de x ^ 2)? Y a-t-il une interprétation géométrique?

— bolbteppa

Le MGF est

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

pour les valeurs réelles de où l'attente existe. En termes de fonction de densité de probabilité , $t$ $f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

Ce n'est pas une transformée de Fourier (qui aurait plutôt que . $e^{itx}$ $e^{tx}$

La fonction de génération de moment est presque une transformée de Laplace bilatérale, mais la transformée de Laplace bilatérale a plutôt que . $e^{-tx}$ $e^{tx}$

— Brian Borchers
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+1 En aparté: la fonction caractéristique est celle qui est plus étroitement liée à la transformée de Fourier (dans ce cas, là encore, il y a le petit problème d'un signe moins) - le cf est , tandis que - jusqu'aux constantes multiplicatives - la transformée de Fourier habituelle serait . Ces connexions s'avèrent parfois très utiles, telles que la recherche de listes de propriétés utiles de transformées de Fourier ou Laplace qui sont généralement directement transférées, ou la possibilité de rechercher de vastes tables de transformations de Fourier ou Laplace lors de la recherche de MGF ou de cfs.

E (e^{i t X})

$E(e^{itX})$

E (e^{- i t X})

$E(e^{-itX})$

— Glen_b -Reinstate Monica

Et bien sûr, la propriété la plus utile est que le MGF de la somme de deux variables aléatoires indépendantes est le produit de leurs fonctions de génération de moment. Ceci équivaut à la règle selon laquelle la transformée de Fourier de la convolution de deux fonctions est le produit de leurs transformées de Fourier.

— Brian Borchers