Je vais commencer par dire qu'il s'agit d'un problème de devoirs tout droit sorti du livre. J'ai passé quelques heures à chercher comment trouver les valeurs attendues et j'ai déterminé que je ne comprenais rien.

Soit $X$ le CDF $F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$ .
Recherchez $E(X)$ pour les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $E(X)$ existe.

Je ne sais même pas comment commencer cela. Comment puis-je déterminer quelles valeurs de $\alpha$ existent? Je ne sais pas non plus quoi faire avec le CDF (je suppose que cela signifie fonction de distribution cumulative). Il existe des formules pour trouver la valeur attendue lorsque vous avez une fonction de fréquence ou une fonction de densité. Wikipedia indique que le CDF de $X$ peut être défini en fonction de la fonction de densité de probabilité $f$ comme suit:

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

Ceci est aussi loin que je suis. Où vais-je d'ici?

EDIT: je voulais dire $x\ge1$ .

Edité pour le commentaire de Probistislogic

Notez que dans ce cas, la distribution a donc la probabilité 0 d'être inférieure à 1 , donc x ≥ 1 , et vous aurez également besoin de α > 0 pour un nombre croissant de cdf.$F(1)=0$$0$$1$$x \ge 1$$\alpha > 0$

Si vous avez la cdf alors vous voulez l’anti-intégral ou dérivé qui avec une distribution continue comme celle-ci

$$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$

et inversement pour x ≥ 1 .$F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$$x \ge 1$

Ensuite, pour trouver l'attente dont vous avez besoin

$$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$$

à condition que cela existe. Je vais vous laisser le calcul.

L'utilisation de la fonction de densité n'est pas nécessaire

Intégrer 1 moins le CDF

Lorsque vous avez une variable aléatoire dont le support est non négatif (c'est-à-dire que la variable a une densité / probabilité non nulle pour des valeurs uniquement positives), vous pouvez utiliser la propriété suivante:$X$

$$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$$

Une propriété similaire s'applique dans le cas d'une variable aléatoire discrète.

Preuve

Depuis ,$1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

$$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$$

Puis changez l'ordre d'intégration:

$$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$$

Reconnaître que est une variable muette ou prendre la simple substitution t = x et d t = d x ,$t$$t=x$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

$$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$$

Attribution

J'ai utilisé la section Formules pour cas spéciaux de l' article Valeur attendue sur Wikipedia pour me rafraîchir la mémoire sur l'épreuve. Cette section contient également des preuves pour le cas de variable aléatoire discrète et également pour le cas qu'aucune fonction de densité n'existe.

Le résultat se prolonge au ème moment de X ainsi. Voici une représentation graphique: $k$$X$

$x\geq 1$$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$

$x$$x \to \infty$$0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$ for all $y\leq x$.

So if we plug in the CDF we get:

$$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$$

From this we conclude that the support for $x$ is $x\geq 1$. Now we also require $\lim_{x\to\infty} F(x)=1$ which implies that $\alpha>0$

To work out what values the expectation exists, we require:

$$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$$

And this last expression shows that for $E(X)$ to exist, we must have $-\alpha<-1$, which in turn implies $\alpha>1$. This can easily be extended to determine the values of $\alpha$ for which the $r$'th raw moment $E(X^{r})$ exists.

The Answer requiring change of order is unnecessarily ugly. Here's a more elegant 2 line proof.

$\int udv = uv - \int vdu$

Now take $du = dx$ and $v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$