Quelles sont les conditions de régularité du test du rapport de vraisemblance

Quelqu'un pourrait-il me dire quelles sont les conditions de régularité pour la distribution asymptotique du test du rapport de vraisemblance?

Partout où je regarde, il est écrit «sous les conditions de régularité» ou «sous les régularités probabilistes». Quelles sont exactement les conditions? Que les première et deuxième dérivées log-vraisemblance existent et que la matrice d'information n'est pas nulle? Ou autre chose entièrement?

maximum-likelihood likelihood-ratio asymptotics

— Kingstat
source

Les conditions de régularité requises sont énumérées dans la plupart des manuels intermédiaires et ne diffèrent pas de celles du mle. Les suivants concernent le cas à un paramètre, mais leur extension au multiparamètre est simple.

Condition 1 : Les pdfs sont distincts, c'est-à-dire $\theta \neq \theta ^{\prime} \Rightarrow f(x_i;\theta)\neq f(x_i;\theta ^{\prime})$

Notez que cette condition indique essentiellement que le paramètre identifie le pdf.

Condition 2: les fichiers PDF ont un support commun pour tous les $\theta$

Cela implique que le support ne dépend pas de $\theta$

Condition 3 : Le point , le paramètre réel qui est, est un point intérieur dans un ensemble $\theta_0$ $\Omega$

La dernière concerne la possibilité que apparaisse aux extrémités d'un intervalle. $\theta$

Ces trois ensemble garantie que la probabilité est maximisée au vrai paramètre et que le mle qui permet de résoudre l'équation $\theta_0$ $\hat{\theta}$

\frac{\partial l (θ)}{\partial θ} = 0

$\frac{\partial l(\theta)} {\partial \theta}=0$

est consistent.

Condition 4 : Le pdf est deux fois différentiable en fonction de $f(x;\theta)$ $\theta$

Condition 5 : L'intégrale peut être différenciée deux fois sous le signe intégral en fonction de $\int_{-\infty}^{\infty} f(x;\theta)\ \mathrm dx$ $\theta$

Nous avons besoin des deux derniers pour dériver l'information de Fisher qui joue un rôle central dans la théorie de la convergence de la mle.

Pour certains auteurs, cela suffit, mais si nous voulons être approfondis, nous avons également besoin d'une condition finale qui assure la normalité asymptotique du mle.

$f(x;\theta)$ $\theta$ $\theta \in \Omega$ $c$ $M(x)$

| \frac{\partial^{3} l o g F (X; θ)}{\partial θ^{3}} | \leq M (X)

$\left| \frac{\partial^3 log f(x;\theta)}{\partial \theta^3} \right| \leq M(x)$

$E_{\theta_0} \left[M(X)\right] <\infty$ $|\theta-\theta_0|<c$ $x$ $X$

$\theta_0$

Est-ce ce que tu avais en tête?

— JohnK
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Merci. Mais êtes-vous sûr que les conditions de régularité liées à la preuve que -2log (lambda) suit Chi carré avec df 1 sont les mêmes?

— Kingstat

H_{0}

$H_0$

θ = θ_{0}

$\theta=\theta_0$

- 2 \log Λ \to^{D} χ^{2} (1)

$-2\log\Lambda \to^D \chi^2 (1)$

pourriez-vous également me dire comment pour une densité N (θ, 1), le test de score de Rao est équivalent au test UMPU?

— Kingstat

@Kingstat Que signifie UMPU?

— JohnK

L'uniformité la plus puissante uniformément.

— Kingstat