Expression de forme fermée pour la distribution de l'échantillon kurtosis de distribution gaussienne

Existe-t-il une expression de forme fermée pour la distribution de l'échantillon Kurtosis de données échantillonnées à partir de la distribution gaussienne? c'est à dire,

$P(\hat{K}<a)$ où est l'exemple de kurtosis.$\hat{K}$

La distribution d'échantillonnage exacte est difficile à calculer; il y a eu les premiers moments (remontant à 1929), diverses approximations (remontant au début des années 1960) et des tableaux, souvent basés sur la simulation (remontant aux années 1960).

Pour être plus précis:

Fisher (1929) donne des moments de la distribution d'échantillonnage de l'asymétrie et du kurtosis dans des échantillons normaux, et Pearson (1930) (également) donne les quatre premiers moments de la distribution d'échantillonnage de l'asymétrie et du kurtosis et propose des tests basés sur eux.

Ainsi par exemple ∗ :$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

L’asymétrie de est de $b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

L'excès de kurtosis de est de $b_2$.$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

$S_U$

$n$

D'Agostino et Tietjen (1971) donnent des tableaux plus détaillés des centiles pour le kurtosis.

D'Agostino et Pearson (1973) donnent des graphiques de points de pourcentage de kurtosis qui couvrent à nouveau une gamme plus étendue de cas.

Fisher, RA (1929),
«Moments and Product Moments of Sampling Distributions»,
Actes de la London Mathematical Society , série 2, 30: 199-238.

Pearson, ES, (1930)
«Un développement ultérieur des tests de normalité»,
Biometrika , 22 (1-2), 239-249.

Pearson, ES (1963)
"Quelques problèmes survenant dans l'approximation des distributions de probabilité, en utilisant les moments",
Biometrika , 50 , 95-112

$\sqrt{b_1}$$b_2$

$b_2$

$b_2$$\sqrt{b_1}$

$\approx 24/n$$n$$n$