Distribution marginale de la diagonale d'une matrice distribuée de Wishart inverse


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Supposons que . Je m'intéresse à la distribution marginale des éléments diagonaux . Il existe quelques résultats simples sur la distribution des sous-matrices de (au moins certaines répertoriées sur Wikipedia). À partir de cela, je peux comprendre que la distribution marginale de tout élément unique sur la diagonale est le Gamma inverse. Mais je n'ai pas pu déduire la distribution conjointe.XInvWishart(ν,Σ0)Xdiag(X)=(X11,,Xpp)X

Je pensais que cela pourrait être dérivé de la composition, comme:

p(X11|Xjeje,je>1)p(X22|Xjeje,je>2)p(X(p-1)(p-1)|Xpp)p(Xpp),

mais je ne suis jamais allé avec et je soupçonne en outre que je manque quelque chose de simple; il semble que ce «devrait» être connu mais je n'ai pas pu le trouver / le montrer.


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La proposition 7.9 de Bilodeau et Brenner (le pdf est disponible gratuitement sur le web) donne un résultat prometteur pour le Wishart (peut-être est-il reporté pour le Wishart inverse). Si vous partitionnez X en blocs comme X11,X12;X21,X22 , alors X22 est Wishart, tout comme X11X12X221X21 , et ils sont indépendants.
shabbychef

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Cette proposition ne s'applique que si vous connaissez toute la matrice: si vous n'avez que la diagonale, alors vous ne savez pas par exemple X12 , donc vous ne pouvez pas faire la transformation.
petrelharp

Réponses:


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En général, on peut décomposer une matrice de covariance quelconque en une décomposition de corrélation de variance comme Ici est la matrice de corrélation avec les diagonales unitaires . Ainsi, les entrées diagonales de font maintenant partie d'une matrice diagonale de variances . Puisque les entrées hors diagonale de la matrice de variance sont nulles , la distribution conjointe que vous recherchez n'est que le produit des distributions marginales de chaque entrée diagonale.
Q q i i = 1 Σ D = [ D ] i i = [ Σ ] i i d i j = 0 , i j

Σ=diag(Σ) Q diag(Σ)=D Q D
Qqii=1ΣD=[D]ii=[Σ]iidij=0, ij

Considérons maintenant le modèle standard de Wishart inverse pour une matrice de covariance à dimensionsΣdΣ

ΣIW(ν+d1,2νΛ),ν>d1

Les éléments de sont distribués marginalement comme σjeje=[Σ]jeje

σjejeinv-χ2(ν+-1,λjejeν-+1)

Une belle référence avec une variété de priors pour la matrice de covariance qui se décompose en différentes distributions de variance-corrélation est donnée ici

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