Filtre FIR à phase linéaire, 4 types

Je sais qu'il existe 4 types de filtres FIR à phase linéaire, c'est-à-dire à retard de groupe constant: (M = longueur de réponse impulsionnelle)

1. Réponse impulsionnelle symétrique, M = impair

2. Lutin. resp. symétrique, M = pair

3. Lutin. resp. anti-symétrique, M = impair

4. Lutin. resp. anti-symétrique, M = pair

chacun avec ses traits. Lequel de ces types est le plus couramment utilisé dans les filtres FIR à conception de phase linéaire et pourquoi? :)

Lors du choix de l'un de ces 4 types de filtres à phase linéaire, il y a principalement 3 choses à considérer:

1. contraintes sur les zéros de à z = 1 et z = - $H(z)$$z=1$$z=-1$

2. délai de groupe entier / non entier

3. déphasage (en dehors de la phase linéaire)

Pour les filtres de type I (nombre impair de prises, même symétrie), il n'y a pas de contraintes sur les zéros à et z = - 1 , le déphasage est nul (à l'exception de la phase linéaire) et le retard de groupe est un entier valeur.$z=1$$z=-1$

Les filtres de type II (nombre pair de prises, même symétrie) ont toujours un zéro à (c'est-à-dire la moitié de la fréquence d'échantillonnage), ils ont un déphasage nul et un retard de groupe non entier.$z=-1$

Les filtres de type III (nombre impair de prises, symétrie impaire) ont toujours des zéros à et z = - 1 (c'est-à-dire à f = 0 et f = f s / 2 ), ils ont un déphasage de 90 degrés et un entier retard de groupe.$z=1$$z=-1$$f=0$$f=f_s/2$

Les filtres de type IV (nombre pair de prises, symétrie impaire) ont toujours un zéro à , un déphasage de 90 degrés et un retard de groupe non entier.$z=1$

Cela implique (entre autres) ce qui suit:

• Les filtres de type I sont assez universels, mais ils ne peuvent pas être utilisés chaque fois qu'un déphasage de 90 degrés est nécessaire, par exemple pour les différenciateurs ou les transformateurs Hilbert.

• Les filtres de type II ne devraient normalement pas être utilisés pour les filtres passe-haut ou coupe-bande, en raison du zéro à , c'est-à-dire à f = f s / 2 . Ils ne peuvent pas non plus être utilisés pour des applications où un déphasage de 90 degrés est nécessaire.$z=-1$$f=f_s/2$

• Les filtres de type III ne peuvent pas être utilisés pour les filtres sélectifs en fréquence standard car dans ces cas, le déphasage de 90 degrés n'est généralement pas souhaitable. Pour les transformateurs de Hilbert, les filtres de type III ont une approximation de magnitude relativement mauvaise à des fréquences très basses et très hautes en raison des zéros à et z = - 1 . D'un autre côté, un transformateur Hilbert de type III peut être implémenté plus efficacement qu'un transformateur Hilbert de type IV car dans ce cas, chaque autre prise est nulle.$z=1$$z=-1$

• Les filtres de type IV ne peuvent pas être utilisés pour les filtres sélectifs en fréquence standard, pour les mêmes raisons que les filtres de type III. Ils sont bien adaptés aux différenciateurs et aux transformateurs de Hilbert, et leur approximation de magnitude est généralement meilleure car, contrairement aux filtres de type III, ils n'ont pas de zéro à .$z=-1$

• Dans certaines applications, un retard de groupe entier est souhaitable. Dans ces cas, les filtres de type I ou de type III sont préférés.

Les filtres à réponse impulsionnelle antisymétrique ont tous un zéro à (c'est-à-dire la fréquence 0). Donc, si vous devez implémenter un filtre passe-haut ou un filtre de type dérivé (ou même un passe-bande), vous devez opter pour les types 3 et 4.$z=1$

De même, si votre filtre est de type passe-bas, les types 1 et 2 s'appliquent.

Cela dépend donc du type de filtre que vous devez concevoir et non de celui qui est le plus courant.

Ensuite, il existe également une différence entre les types 1 et 3 vs 2 et 4 en termes de réponse de phase. Il y aura un supplémentaire entre les deux types. Même si vous ne vous souciez pas du retard réel introduit, cette différence d'un demi-échantillon peut être importante en termes de convergence dans certains cas de filtres passe-haut (la phase supplémentaire peut rendre votre réponse en fréquence continue à θ = π , fournissant ainsi convergence beaucoup plus rapide et besoin de moins de coefficients).$e^{j\theta/2}$$\theta = \pi$

En termes de mise en œuvre, tous les 4 types peuvent être mis en œuvre efficacement sans répéter deux fois les mêmes coefficients.

Vous avez bien sûr besoin de toute la ligne à retard de taille M. Mais au lieu de multiplier chacune des sorties de prise par son propre coefficient, vous ajoutez d'abord (ou soustrayez) les deux sorties correspondantes, puis multipliez une seule fois par le coefficient.

$h[n] = a \delta[n] + b \delta[n-1] + a \delta[n-2]$$y[n] = a x[n] + b x[n-1] + a x[n-2]$$y[n] = a (x[n] + x[n-2]) + b x[n-1]$

Puisqu'il y a déjà deux très belles réponses, je vais donner quelques exemples très basiques à partir desquels les propriétés données dans les autres réponses peuvent être vérifiées. Les emplacements zéro et les réponses de phase sont directement disponibles.

symétrique, M = impair

$H(z) = 1\pm2z^{-1}+z^{-2} = (1\pm z^{-1})^2 \\ H(e^{j\omega}) = (1\pm e^{-j\omega})^2 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2}))^2 = e^{-j\omega}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2})^2 = 4e^{-j\omega}\cos^2(\omega/2) \quad or \quad -4e^{-j\omega}\sin^2(\omega/2) = 4e^{-j(\omega-\pi)}\sin^2(\omega/2)$

$H(z) = 1+z^{-2} = (1 + jz^{-1})(1 - jz^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j2\omega}) = e^{-j\omega}(e^{j\omega} + e^{-j\omega}) = 2e^{-j\omega}\cos(\omega)$

symétrique, M = pair

$H(z) = 1 + z^{-1}\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}) = 2e^{-j\omega/2}\cos(\omega/2)$

$H(z) = 1 + z^{-3} \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j3\omega}) = e^{-j3\omega/2}(e^{j3\omega/2} + e^{-j3\omega/2}) = 2e^{-j3\omega/2}\cos(3\omega/2)$

$H(z) = 1 + 3z^{-1} + 3z^{-2} + z^{-3} = (1 + z^{-1})^3 = (1-e^{-2\pi/3}z^{-1})(1-e^{2\pi/3}z^{-1})(1+z^{-1})\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega})^3 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}))^3 = 8e^{-j3\omega/2}\cos(\omega/2)^3$

antisymmetrical, M=odd (according to [1], $h[N/2] = 0$ for this case)

$H(z) = 1 - z^{-2} = (1 + z^{-1})(1 - z^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = 1 - e^{-j2\omega} = e^{-j\omega}(e^{j\omega} - e^{-j\omega}) = 2je^{-j\omega}\sin(\omega)=2e^{-j(\omega-\pi/2)}\sin(\omega)$

antisymmetrical, M=even

$H(z) = 1 - z^{-1} \\ H(e^{j\omega}) = (1 - e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} - e^{-j\omega/2}) = 2je^{-j\omega/2}\sin(\omega/2)$

[1] a good reference mitrappt