Échantillonnage de la fonction Dirac

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Je voudrais poser une question théorique concernant la fonction Dirac. La transformée de Fourier de la fonction Dirac est la valeur 1 (DC) pour chaque fréquence. Si nous considérons le théorème d'échantillonnage, nous devons trouver une fréquence maximale dans le signal , afin de pouvoir échantillonner avec . Mais comme nous pouvons le voir à partir de sa transformée de Fourier, la fonction Dirac contient toutes les fréquences, donc nous ne pouvons pas trouver un approprié . Ma question est, d'un point de vue théorique, la fonction Dirac peut-elle être échantillonnée? $\ f_{max}$ $\ f_s \ge \ 2f_{max}$ $f_s$

Edit: Merci pour vos réponses utiles les gars!

sampling

— George Tseres
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En numérique, la séquence x [n] = (1, n = 0) (0, sinon) fait la plupart des tâches que la distribution dirac fait dans le monde analogique. C'est la fonction de base pour la convolution, a une réponse en fréquence plate et est la réponse impulsionnelle d'un "fil". C'est en fait une chose qui est plus facile en numérique

— Hilmar

personnellement, je pense qu'une réponse plus concise est "Non, une impulsion dirac, , ne peut pas être échantillonnée à car il n'y a pas de valeur que la fonction (ou la distribution) prend à " $\delta(t)$ $t=0$ $t=0$ il n'y a pas de fonction delta dirac dans le monde physique, seulement des approximations. il n'y a donc rien à échantillonner.

— robert bristow-johnson

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N'importe quel signal peut être échantillonné, que le théorème d'échantillonnage soit valable ou non. Le théorème d'échantillonnage vous dit que, si la fréquence d'échantillonnage est suffisante, alors les échantillons représentent le signal original complet.

Les signaux présentant des discontinuités ou, pire encore, des distributions telles que , ne sont pas limités en bande, de sorte que l'hypothèse du théorème d'échantillonnage ne tiendra jamais. $\delta(t)$

Notez également que la démonstration habituelle du théorème d'échantillonnage implique la multiplication du signal par un train d'impulsions. Je crois que cela exclut les signaux étant des distributions tout à fait, parce que les produits des distributions ne sont pas bien définis .

En pratique, imaginez échantillonner à . Cet exemple a une valeur non définie. $\delta(t)$ $t=0$

— Juancho
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"Tout signal peut être échantillonné" - eh bien, un algorithme d'échantillonnage peut être appliqué à n'importe quel signal , oui, mais en réalité, appeler ce processus "échantillonnage" pourrait, selon le contexte, affirmer déjà que vous vous attendez à pouvoir reconstruire le signal à partir de la résultat, c'est-à-dire que les conditions préalables au théorème d'échantillonnage sont remplies.

— gauche autour

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$t$

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t) ré t = 1

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) F (t) ré t = F (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0)$

$\delta^2(t)$

\sum_{n} δ (t - n T) δ (t) = δ^{2} (t)

$\sum_n\delta(t-nT)\delta(t)=\delta^2(t)$

Les impulsions de Dirac sont un outil pratique pour analyser les systèmes linéaires invariants dans le temps, mais elles doivent être traitées avec précaution car les types courants de traitement effectués sur des signaux ordinaires (tels que l'échantillonnage) peuvent conduire à des résultats indéfinis et dénués de sens lorsqu'ils sont appliqués aux impulsions de Dirac.

— Matt L.
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Les informations portées par un Dirac sont sa localisation et son intensité. Vetterli et al. montrer comment échantillonner un signal donné par la somme de N diracs:

$x(t)=\sum_{i=0}^{N-1}r_i\delta(t-t_i)$

Échantillonnage $x(t)$ dans ce contexte signifie récupérer $r_i$ et $t_i$ pour $i=0,\ldots,N-1$ . En bref, cela se fait par un filtrage passe-bas $x(t)$ et en utilisant des techniques d'estimation spectrale standard. Pour plus de détails, voir:

Blu, Thierry et al. "Échantillonnage épars des innovations de signal." Magazine Signal Processing, IEEE 25.2 (2008): 31-40.

— Arrigo
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