Conditions de précodage de la matrice pour préserver la symétrie conjuguée complexe sur le vecteur DFT

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Supposons qu'il existe un vecteur DFT de longueur N, qui présente une symétrie conjuguée complexe autour de son point médian, c'est-à-dire , et ainsi de suite. et sont respectivement la fréquence DC et Nyquist, sont donc des nombres réels. Les éléments restants sont complexes. $\mathbf{X}$ $X(1) = X(N-1)^*$ $X(2) = X(N - 2)^*$ $X(0)$ $X(N/2)$

Supposons maintenant qu'il existe une matrice , de taille , qui multiplie le vecteur X. $\mathbf{T}$ $N \times N$

\begin{aligned} Y = T X \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$

La question est:

Dans quelles conditions, pour la matrice , la symétrie conjuguée complexe autour du point médian du vecteur résultant est-elle préservée? $\mathbf{T}$ $\mathbf{Y}$

La motivation de cette question est d'essayer de trouver une matrice de précodeur qui se traduit par un symbole précodé (pré-égalisé) dont l'IFFT est réel. $\mathbf{T}$ $\mathbf{Y}$

ÉDITER:

Merci @MattL. et @niaren. La difficulté de cette question est de trouver les conditions nécessaires. La réponse de Matt est en effet suffisante. Il suffit également d'apporter les modifications suivantes:

La première ligne et la première colonne n'ont pas besoin d'être nulles. Au lieu de cela, ils pourraient être non nuls, tant que ses valeurs présentent une symétrie conjuguée complexe autour du point médian, sa première valeur est réelle et sa -ème valeur est réelle, tout comme le symbole. La même chose peut être donnée pour la -ième colonne, la -ième rangée, et la diagonale principale. $(N/2+1)$ $(N/2+1)$ $(N/2+1)$

Deuxièmement, la même correspondance entre la matrice dans le coin supérieur gauche et le coin inférieur droit pourrait être établie entre le coin supérieur droit et le coin inférieur gauche, c'est-à-dire choisir un matrice commençant de à , retournez de gauche à droite, retournez à l'envers et prenez le conjugué, puis placez dans le coin inférieur gauche. Sur MATLAB, ce serait: $(N/2 -1)\times(N/2-1)$ $t_{2,N/2 + 2}$ $t_{N/2,N}$

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

Cette structure est similaire à la structure de la matrice DFT. Serait-ce une condition nécessaire?

MODIFIER (2):

Le code suivant implémente un tel opérateur valide pour tout matrice valeur réelle : $N \times N$ $\mathbf{A}$

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

MODIFIER (3):

Il est également intéressant de noter que présente également la condition suffisante. Cela vient du fait que: $\mathbf{T}^{-1}$

\begin{aligned} T^{- 1} & = {(W A W^{H})}^{- 1} \\ = {(W^{H})}^{- 1} A^{- 1} W^{- 1} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$ où est la matrice DFT.

W

$\mathbf{W}$

Puisque . Cette équation devient: $\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$

\begin{aligned} T^{- 1} & = {(N W^{- 1})}^{- 1} A^{- 1} \frac{1}{N} W^{H} \\ = W A^{- 1} W^{H} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$

Enfin, comme une valeur réelle, à condition que soit de rang complet, est suffisant. $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{T}^{-1}$

dft equalization linear-algebra

— igorauad
source

Je vais y dormir avant de rentrer dans les détails, mais juste pour que vous réfléchissiez: même si la restriction d'une matrice diagonale n'est pas nécessaire, elle peut se faire sans perte de généralité, car tout est possible des vecteurs peuvent être générés. Êtes-vous d'accord?

T

$\mathbf{T}$

Y

$\mathbf{Y}$

— Matt L.

Bien sûr, je suis d'accord avec cela.

— igorauad

1

Je pense que les entrées de votre matrice doivent obéir à . Cela signifie que les entrées de la ligne sont les mêmes que les coefficients de la ligne n mais où les coefficients sont conjugués et inversés. Le modèle dans pour est $\bf{T}$ $a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$ $N-n+1$ $\bf{T}$ $N=4$

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

Je suis sûr que quelqu'un trouvera une réponse meilleure et plus précise.

— niaren
source

Et le composant DC? Le composant DC de est le produit interne de la première ligne de avec le vecteur (complexe) . Comment cela va-t-il être valorisé?

Y

$\mathbf{Y}$

T

$\mathbf{T}$

X

$\mathbf{X}$

— Matt L.

1

J'ai laissé cela comme exercice au PO pour bourrer ces deux rangées de toux . Mais je ne vois pas comment vous arrivez à la conclusion que seule une matrice diagonale fonctionnera (sans dire que vous avez tort).

— niaren

Je peux me tromper en effet. Quand j'aurai plus de temps, j'y repenserai ... Disons-le comme ceci: une matrice diagonale (avec symétrie conjuguée) fonctionnera dans tous les cas.

— Matt L.

-1

Si je ne me trompe pas, la seule solution pour qui est indépendante du vecteur est une matrice diagonale (complexe), où la diagonale satisfait la symétrie conjuguée complexe. $\mathbf{T}$ $\mathbf{X}$

EDIT: OK, je me suis trompé. La diagonale est très bien, mais ce n'est pas nécessaire. La matrice doit avoir la structure générale suivante: les éléments et doivent être à valeur réelle (ils correspondent à DC et Nyquist). Hormis la première ligne et colonne ne contient que des zéros. Pour les éléments à choisi un arbitray $\mathbf{T}$ $t_{11}$ $t_{N/2+1,N/2+1}$ $t_{11}$ $t_{22}$ $t_{N/2,N/2}$ $(N/2-1)\times (N/2-1)$ matrice. Utilisez ensuite cette matrice arbitraire pour former une nouvelle matrice en échangeant toutes les lignes (la première ligne devient la dernière, la deuxième ligne devient l'avant-dernière, etc.), en inversant les lignes de gauche à droite et en conjuguant. Ensuite, placez cette sous-matrice dans le coin inférieur droit de la matrice totale . Tous les autres éléments de doivent être nuls. Je suis conscient que c'est un peu difficile à comprendre sans visualisation, donc j'en ajouterai plus tard quand j'aurai plus de temps. $\mathbf{T}$ $\mathbf{T}$

— Matt L.
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