Variance du bruit blanc gaussien

Cela peut sembler une question facile et sans aucun doute, mais j'essaie de calculer la variance du bruit blanc gaussien sans aucun résultat.

La densité spectrale de puissance (PSD) du bruit blanc additif gaussien (AWGN) est alors que l'autocorrélation est $\frac{N_0}{2}$ , donc la variance est infinie? $\frac{N_0}{2}\delta(\tau)$

noise power-spectral-density random-process

— Mazzy
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La puissance de bruit n'est-elle pas la variance de la tension de bruit? On pourrait également s'interroger sur la variance (ou écart type) de la puissance mesurée sur un intervalle de temps spécifique. Je pense que le théorème central limite décrirait la relation entre la durée du temps de mesure et la variance des résultats.

Réponses:

Le bruit blanc gaussien dans le cas du temps continu n'est pas ce qu'on appelle un processus de second ordre (ce qui signifie que est fini) et donc, oui, la variance est infinie. Heureusement, nous ne pouvons jamais observer un processus de bruit blanc (qu'il soit gaussien ou non) dans la nature; il n'est observable qu'à travers une sorte de dispositif, par exemple un filtre linéaire (stable au BIBO) avec une fonction de transfert auquel cas vous obtenez un processus gaussien stationnaire avec une densité spectrale de puissance $E[X^2(t)]$ $H(f)$ et variance finie $\frac{N_0}{2}|H(f)|^2$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{N_{0}}{2} | H (f) |^{2} d f .

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty \frac{N_0}{2}|H(f)|^2\,\mathrm df.$

Vous trouverez plus que ce que vous voulez probablement savoir sur le bruit blanc gaussien dans l'annexe de ma note de cours.

— Dilip Sarwate
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La chose curieuse à ce sujet pour moi est que le paramètre

qui est utilisé comme la "variance" de la distribution gaussienne de

n'est pas la variance de la séquence. Comme vous le dites, c'est parce que

est infini. Merci pour l'explication claire!

σ^{2}

$\sigma^2$

x (t)

$x(t)$

E [x^{2} (t)]

$E[x^2(t)]$

— Peter K.

@PeterK. Il existe une différence entre les notions de bruit blanc gaussien pour le temps discret et le temps continu. Si un processus à temps discret est considéré comme des échantillons d'un processus à temps continu, alors, en tenant compte du fait que l'échantillonneur est un appareil à bande passante finie, nous obtenons une séquence de variables aléatoires gaussiennes indépendantes de variance commune

qui est ce que vous avez dans votre réponse. Si votre

est

σ^{2}

$\sigma^2$

Y [n]

$Y[n]$

où

est l'AWGN de l'OP, alors

Y [n] = \int_{(n - 1) T}^{n T} X (t) d t

$Y[n]=\int_{(n-1)T}^{nT}X(t)\,\mathrm dt$

X (t)

$X(t)$

, pas

σ_{Y [n]}^{2} = \frac{N_{0}}{2} T

$\sigma_{Y[n]}^2=\frac{N_0}{2}T$

tel que vous l'avez (sauf si

\frac{N_{0}}{2}

$\frac{N_0}{2}$

T = 1

$T=1$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate J'ai lu votre intéressante annexe. Mais vous dites: "Il ne faut cependant pas déduire que les variables aléatoires du processus WGN sont elles-mêmes des variables aléatoires gaussiennes". Je n'ai pas bien compris cela. Si les variables aléatoires ne sont pas gaussiennes (et cela me semble raisonnable car elles ont une variance infinie), pourquoi le processus s'appelle-t-il gaussien?

— Surfer le

@Surferonthefall Essayez d'écrire la fonction de densité de probabilité

des prétendues variables aléatoires gaussiennes dans le processus de bruit blanc gaussien

. La fonction de densité a la valeur

pour tous les

. Comment

peut-il être considéré comme une variable aléatoire gaussienne? Comme je l'ai dit à plusieurs reprises dans le document que vous lisez, il ne faut pas regarder de trop près les variables aléatoires dans un processus de bruit blanc

f_{X (t)} (x)

$f_{X(t)}(x)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

0

$0$

x

$x$

X (t)

$X(t)$

. Le processus estmythiqueet il est défini par ce qu'il produit à la sortie du filtre linéaire, et non par autre chose.

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

— Dilip Sarwate

Désolé, cela aurait dû lire ".... prendre la limite comme

" pas comme

σ \to \infty

$\sigma \to \infty$

σ \to 0

$\sigma \to 0$

— Dilip Sarwate

$x[t]$ $\sigma^2$ $x$

\begin{matrix} R_{x x} [τ] & = & E [x [t] x [t + τ]] \\ = & {\begin{matrix} E [x [t]^{2}], i f τ = 0 \\ 0, o t h e r w i s e \end{matrix} \\ = & σ^{2} δ [τ] \end{matrix}

$\begin{array} RR_{xx}[\tau] &=& E\left[ x[t] x[t+\tau] \right]\\ &=& \left \{ \begin{array} EE \left[ x[t]^2 \right], {\rm if\ }\tau=0 \\ 0, {\rm otherwise} \end{array} \right. \\ &=& \sigma^2 \delta[\tau] \end{array}$

δ [τ]

$\delta[\tau]$

$\sigma^2 = \frac{N_0}{2}$

— Peter K.
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Oui, à moins que vous ne teniez compte du fait que la puissance infinie est difficile à trouver dans ces temps post-big-bang. En fait, tous les processus de bruit blanc se retrouvent dans une implémentation physique qui a une capacité et limite ainsi la bande passante effective. Considérez les arguments (raisonnables) menant au bruit de Johnson R: ils produiraient une énergie infinie; sauf qu'il y a toujours des limites de bande passante dans l'implémentation. Une situation similaire s'applique à l'extrémité opposée: bruit 1 / F. Oui, certains processus s'adaptent très bien au bruit 1 / f sur une longue période; Je les ai mesurés. Mais à la fin, vous êtes contraint par les lois physiques.

— rrogers
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