Comment dériver le prédicteur de filtre de Kalman stationnaire?

Dans son chapitre sur les filtres Kalman, mon livre DSP déclare, apparemment à l'improviste, que le filtre Kalman stationnaire pour un système

$$\begin{cases} x(t+1) &= Ax(t) + w(t) \\ y(t) &= Cx(t) + v(t) \end{cases}$$

a le prédicteur

$$\hat{x}(t+1|t) = (A-A\bar{K}C)\hat{x}(t|t-1) + A\bar{K}y(t)$$

et covariance vectorielle stationnaire et gain de Kalman

ˉ K = ˉ P CT(C ˉ P CT+

$$\bar{P} = A\bar{P}A^T - A\bar{P}C^T ( C\bar{P}C^T + R )^{-1}C\bar{P}A^T + Q$$ $$\bar{K} = \bar{P}C^T(C\bar{P}C^T+R)^{-1}$$

où $Q$ et $R$ désignent les covariances du bruit d'entrée $w$ et du bruit de mesure $v$ , respectivement.

Je ne vois pas comment y parvenir à partir du prédicteur de variance minimale. Quelqu'un pourrait-il me l'expliquer, ou me diriger vers une ressource qui dérive l'expression? Voici le filtre à variation minimale variant dans le temps, que je peux déduire:

P(t+1|t)=A(P(t|t-1)

$$\hat{x}(t+1|t) = (A-K(t)C)\hat{x}(t|t-1) + K(t)y(t)$$ K ( t ) = A P ( t | t - 1 ) C T ( C P ( t | t $$P(t+1|t) = A\left(P(t|t-1)-P(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T + R)^{-1}CP(t|t-1)\right)A^T+Q$$ $$K(t) = AP(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T+R)^{-1}$$

Je ne sais pas comment aller d'ici au filtre stationnaire ci-dessus.

Mise à jour: je peux voir que la substitution de et dans le filtre variant dans le temps entraîne le filtre stationnaire, mais pourquoi multiplier par ? Est-ce juste le symptôme d'un choix malheureux de notation, ce qui signifie que ou ne dénote pas vraiment le gain de Kalman?$\bar{P} = P(t+1|t) = P(t|t-1)$$K(t)=A\bar{K}$$A$$K$$\bar{K}$

Vos dérivations sont correctes.

$\bar P = P(t|t-1)$ et$K(t) = A \bar K$

Est-ce votre confusion:

1. Pourquoi n'avaient-ils pas le terme dans les expressions Kalman Gain et Covariance Matrix?$t|t-1$
2. Comment cela peut-il être "stationnaire" lorsque votre dérivation montre que le temps varie?

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1. Mauvais choix de notation de la part du livre

Le regard de Let à l'expression: . Le fait que soit une fonction de lui-même montre une relation récursive. En d'autres termes, il utilise ses valeurs passées. Donc, ce n'est PAS la même chose pour tous les instants - Cela change à chaque itération.$\bar P = A\bar PA^T - A\bar P C^T(C\bar P C^T + R)^{-1}C\bar PA^T + Q$$\bar P$

1. Incompréhension du mot "stationnaire".

Lorsque l'auteur du livre a dit «stationnaire», il / elle ne voulait pas dire que et ont la même valeur à tout moment. Au lieu de cela, l'auteur a voulu souligner que les expressions pour ceux à valeurs sont les mêmes pour toutes les réalisations statistiques. La stationnarité est un concept statistique qui signifie que les statistiques du système sont les mêmes tout le temps. Regardez les expressions et à nouveau. Ils ne dépendent que de \$P$$K$$\bar P$$\bar K$

• Valeurs antérieures d'eux-mêmes
• Matrices de transition et qui sont déterministes et dans votre cas invariantes dans le temps ( et sont les mêmes à tout moment)$A$$C$$A$$C$
• $Q$ et qui sont les matrices de covariance du bruit. Ces 2 matrices décrivent les statistiques des bruits et sont les mêmes dans toutes les réalisations et instances temporelles.$R$

Le gain de Kalman, et la matrice de covariance d'état auront la même valeur pour toutes les réalisations de ce processus aléatoire. ( Note latérale: Aucun de ces 2 termes ne dépend des mesures, . Ils peuvent donc être calculés à l'avance. )$K$$P$$y$

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Conclusion:

Les équations "variant dans le temps" que vous avez dérivées étaient équivalentes à celles du livre. En outre, les différences de notation, il y avait un léger malentendu de votre part concernant ce qui change et ce qui ne change pas.