Quelle est la réponse en phase et en amplitude du bruit blanc?

Je voudrais créer du bruit blanc dans le domaine fréquentiel, puis le transformer en domaine temporel en utilisant python. Pour comprendre le problème, j'ai simplement généré du bruit blanc dans le domaine temporel et l'ai transformé en domaine freq:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

Je ne regarde pas du tout comme je m'y attendais: Questions:

• Le bruit blanc n'est-il pas censé avoir une réponse d'amplitude plate? (quantités égales pour toutes les fréquences)
• Quelle est la relation entre l'écart-type (1 dans mon exemple) et la magnitude et la phase?

Merci d'avance!

Le bruit blanc n'est-il pas censé avoir une réponse d'amplitude plate? (quantités égales pour toutes les fréquences)

La réponse en amplitude attendue du bruit blanc est plate (c'est ce que JasonR appelle la densité spectrale de puissance). Tout exemple particulier d'une séquence de bruit blanc n'aura pas de réponse plate précise (c'est ce que le commentaire de JasonR appelle le spectre de puissance).

En fait, la transformée de Fourier du bruit blanc est ... du bruit blanc!

Quelle est la relation entre l'écart-type (1 dans mon exemple) et la magnitude et la phase?

Il n'y aura pas de relation entre l'écart-type et la phase. En ce qui concerne la magnitude, supposons que $n(t)$ est un bruit blanc stationnaire avec une moyenne nulle et un écart type $\sigma$ . Alors l'autocorrélation (covariance) est:

$$R_{nn}(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$$

Ainsi, la densité spectrale de puissance est juste $\sigma^2$ (bien que pour le temps discret, il y aura une mise à l'échelle basée sur la durée du signal).

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Questions du commentaire:

1. Lorsque vous dites que la transformée de Fourier est également du bruit blanc, comment puis-je mesurer le std-dev lorsque la transformée est complexe? Partie réelle, imaginaire ou une combinaison?

$n[m]$$\sigma^2$

$$\begin{eqnarray} N[k] &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) + j n[m] \sin(2\pi mk/M) \end{eqnarray}$$

et la valeur attendue est:

$$\begin{eqnarray} E\left[N[k]\right] &=& E\left[\sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[n[m]\right] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$$

La variance de la partie réelle est donnée par:

$$\begin{eqnarray} E\left[ (\Re N[k])^2 \right] &=& E \left [ \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) \cdot \sum_{p=0}^{M-1} n[p] \cos(2\pi pk/M) \right ]\\ &=& E\left[ \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{p=0}^{M-1} n[m]n[p] \delta[n-p] \cos(2\pi mk/M)\cos(2\pi pk/M) \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[ n[m]^2 \right]\cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2\sum_{m=0}^{M-1} \cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{\cos(M+1) 2\pi k/M \sin(2\pi Mk/M) }{ 2 \sin (2\pi k/M) } \ \ \ \right)\\ &=& \frac{\sigma^2 M}{2} \end{eqnarray}$$

Je pense que la partie imaginaire se comportera de la même manière.

2. Pourriez-vous, s'il vous plaît, m'éclairer sur la relation entre la durée du signal et la densité spectrale de puissance (pour des situations temporelles discrètes)

Je crois que (sur la base de la dérivation ci-dessus), la densité spectrale de puissance (la valeur attendue du carré de la DFT) évoluera linéairement comme la durée.

3. Si la phase n'est pas affectée par le std-dev, ce qui détermine l'amplitude de 3 degrés et le type de distribution (semble être uniforme plutôt que normal)

Consultez le tableau à la page 2 de ce fichier PDF . il indique que l'argument (phase) des coefficients sera uniformément distribué, comme vous le dites. Capture d'écran du tableau ci-dessous.