Explication PSD (Power spectral density)

J'essaie de comprendre comment le PSD est calculé. J'ai consulté quelques-uns de mes manuels d'ingénierie de la communication, mais en vain. J'ai également regardé en ligne. Wikipédia semble avoir la meilleure explication; cependant, je me perds dans la partie où ils décident de faire la CDF (fonction de distrubution cumulative) et puis pour une raison quelconque je décide de relier cela à la fonction d'autocorrélation.

Je suppose que ce que je ne comprends pas, c'est comment l'autocorrélation a-t-elle quelque chose à voir avec le calcul de la PSD? J'aurais pensé que la PSD simple serait la transformée de Fourier de $P(t)$ (où est la puissance du signal par rapport au temps). $P(t)$

power-spectral-density psd

— user968243
source

Comment définissez-vous ?

P (t)

$P(t)$

— Phonon

Je ne le définis pas vraiment comme quoi que ce soit. C'est juste un signal d'alimentation. Je suppose que si je devais le définir, ce serait

... Je suppose que le fait est que le PSD n'est pas

et il a quelque chose à voir avec l'autocorrélation et je ne comprends pas quoi ...

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$

— user968243

Vous ne pouvez pas vraiment définir une telle puissance pour des signaux arbitraires. Il n'y a pas de concepts de tension et de courant. Dans ce cas, la puissance est définie comme la puissance d'une onde (électromagnétique si vous le souhaitez). C'est donc

, et c'est un nombre unique, pas une quantité variant dans le temps.

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— Phonon

Lisez à propos du théorème de Wiener-Khinchin . Vous refusez de comprendre ce que Phonon vous fait remarquer que la limite que vous calculez est une constante et donc sa transformée de Fourier n'est qu'une impulsion à

dans le domaine fréquentiel. Si cela fait flotter votre bateau, allez-y, mais ce n'est pas la densité spectrale de puissance telle que tout le monde la comprend.

f = 0

$f=0$

— Dilip Sarwate

J'ai lu sur ce théorème ... Et je comprends comment il relie la transformée de Fourier à l'autocorrélation. Et je ne refuse pas de comprendre ce que Phonon a dit ... Je comprends exactement ce que @Phonon a dit. Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi la formule d'autocorrélation est utilisée et je ne comprends pas non plus pourquoi la méthode de la transformée de Fourier est utilisée (pour obtenir le PSD, vous pouvez prendre la transformée de Fourier, en prendre l'ampleur, la mettre au carré, etc.) ... Je n'ai aucune idée pourquoi faire cela donnerait un PSD et je n'ai pas été en mesure de trouver une dérivation décente.

— user968243

Réponses:

Vous avez raison, PSD a à voir avec le calcul de la transformée de Fourier de la puissance du signal et devinez quoi ..... il le fait. Mais regardons d'abord la relation mathématique entre le PSD et la fonction d'autocorrélation.

Notations:
- Transformée de Fourier: $F [x (t)] = X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- (Temps) Fonction d'auto-corrélation: $R (τ) = x (τ) * x (- τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
Prouvons que la transformée de Fourier de la fonction d'auto-corrélation est bien égale à la densité spectrale de puissance de notre signal stochastique . $x(t)$

F [R (τ)] = \int_{- \infty}^{\infty} R (τ) e^{- j ω τ} d τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) e^{- j ω τ} d t d τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \underset{F [x (t + τ)] = X (ω) e^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} x (t + τ) e^{- j ω τ} d τ}} d t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= X (ω) \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{j ω t} d t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

Qu'est-ce que tout cela veut dire? Remarque: Cette explication est un peu "hacky". Mais c'est parti

$\mathcal{F}[x(t)]$

Et si vous prenez alors la valeur attendue de la transformée de Fourier? Ça ne marcherait pas. Prenons par exemple un signal de moyenne nulle.

E {F [x (t)]} = F [E {x (t)}] = 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

E {F [X^{2} (t)]} = F [\underset{Un V. Puissance du signal}{\underset{⏟}{E {X^{2} (t)}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

La fonction d'autocorrélation est essentiellement $P(t)$ auquel vous faisiez allusion.

Les références:

[1] Communications 1, PL. Dragotti, Imperial College de Londres

[2] Bruit blanc et estimation, F. Tobar [rapport non publié]

— ssk08
source

Explication fantastique! Une petite question de calcul - pouvez-vous échanger les

d t

$dt$ et le

d τ

$d\tau$ à l'intérieur des doubles intégrales, uniquement parce que leurs limites sont à la fois de -

\infty

$\infty$ à +

\infty

$\infty$ ?

— Spacey

Oui c'est vrai.

— ssk08

D'accord, je pense que je comprends un peu. Je peux voir comment la transformée de Fourier est liée à l'autocorrélation. Je ne comprends pas vraiment, cependant, quel est le problème avec la transformation de Fourier de

x (t)

$x(t)$ ou

x^{2} (t)

$x^2(t)$ . Je ne vois pas vraiment pourquoi la valeur attendue doit être prise (je sais que cela fait la moyenne, mais je ne sais pas pourquoi cela est nécessaire) et je ne comprends pas vraiment ce que vous entendez par 'pour chaque réalisation de l'aléatoire processus, vous aurez différentes expressions pour '. Si vous pouviez élaborer un peu, ce serait génial! Merci pour votre temps!

— user968243

@ user968243 En ce qui concerne la partie "pour chaque réalisation", pensez-y de cette façon: Votre signal d'origine, disons la longueur

N

$N$ , pour lequel vous souhaitez trouver le PSD, est un vecteur aléatoire. C'est donc un vecteur avec

N

$N$ Composants. Maintenant, comme il s'agit d'un vecteur aléatoire, chaque fois que vous lancez les dés, vous obtenez des valeurs différentes pour ses composants. Une possibilité pourrait être [3 4 1 9 ...]. Une autre possibilité pourrait être [2,9 4,2 1,1 9,02 ...]. C'est ce qu'il veut dire quand il dit: "Pour chaque réalisation d'un processus aléatoire, (votre vecteur), vous obtenez des expressions différentes pour" (la transformée de Fourier. Du sens?

— Spacey

@Mohammad l'a parfaitement résumé.

— ssk08

Belle dérivation mais je pense que vous pouvez le faire encore plus facilement

Corrélation automatique $r(t) = x(t)*x(-t)$ , c'est la convolution du signal avec son temps inversé.

La convolution dans le domaine temporel est la multiplication dans le domaine fréquentiel.

Le flip temporel dans le domaine temporel est "conjugué complexe" dans le domaine fréquentiel.

Par conséquent, nous obtenons

R (ω) = F {r (t)} = F {X (t)} F {X (- t)} = X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2} = P S ré

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— Hilmar
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L'auto-corrélation n'est-elle pas la convolution du signal avec son moi conjugué complexe et temporisé?

— Jim Clay

Je pense qu'il suppose que le signal est réel.

— ssk08

@Jim & ssk08: vous avez tous les deux raison, bien sûr. Merci d'avoir nettoyé les équations.

— Hilmar

Explication PSD (Power spectral density)

La fonction d'autocorrélation est essentiellement P( t )P(t)P(t) auquel vous faisiez allusion.

La fonction d'autocorrélation est essentiellement $P(t)$ auquel vous faisiez allusion.