Quelle est la signification exacte d'un système instable dans DSP?

Dans les systèmes physiques, je comprends ce que signifie la stabilité ou l'instabilité. Un amplificateur opérationnel, par exemple, s'il fonctionne en rétroaction positive, soit saturera, soit commencera à osciller (c'est-à-dire qu'il n'aura pas d'état stable). c'est clair pour moi.

Mais je ne peux pas comprendre ce que nous voulons dire exactement quand nous disons qu'un filtre IIR (ou tout autre système numérique), par exemple, peut devenir très instable.

• Que se passe-t-il exactement à l'intérieur du processeur de signal numérique, qu'arrive-t-il physiquement à la sortie?
• Qu'entendons-nous exactement par système instable dans ce contexte?

$y[n] = x[n] + y[n-1]$$x[n] = u[n]$

Un filtre IIR instable agira exactement comme un circuit d'ampli op instable, sauf que l'entrée et la sortie sont des flux de nombres au lieu de tensions.

Ainsi, la sortie peut osciller, rester bloquée à une valeur min / max, ou généralement juste être agrandie. Tout comme un circuit d'ampli op instable, il peut fonctionner pour certaines entrées et osciller pour d'autres.

À peu près n'importe quel type de système où la rétroaction est impliquée peut être instable s'il est mal conçu. Cela est dû au fait qu'une partie de la sortie est réinjectée dans l'entrée (d'où le feedback!), Donc un système instable continuera de se réinjecter de plus en plus jusqu'à ce qu'il devienne fou.

Les filtres IIR n'ont rien de spécial par rapport aux filtres d'amplificateur opérationnel - ils ont tous les deux un retour et peuvent être stables ou instables selon les pôles, qui représentent la partie retour d'une fonction de transfert.

C'est en fait la différence entre un filtre numérique FIR et un filtre numérique IIR: les filtres FIR n'ont pas de rétroaction, ils ne peuvent donc jamais être instables (le compromis ici est qu'un filtre FIR équivalent prend généralement une tonne de calcul en plus). Ils sont fondamentalement purs, au lieu d'avoir une rétroaction (et probablement aussi une certaine rétroaction) comme un IIR.

Un filtre IIR a des pôles, ce qui signifie qu'il a une rétroaction de la sortie du système qui prend en compte ses calculs de sortie. Les pôles d'un système à temps discret doivent avoir une magnitude absolue inférieure à 1 pour que le système soit stable. Cela équivaut à faire tomber les pôles à l'intérieur d'un cercle unitaire dans le plan complexe (se référant généralement au plan z associé à la fonction de transfert de domaine z du système).

La situation analogue pour les systèmes du «monde réel» (systèmes qui peuvent être modélisés par des équations différentielles linéaires à coefficients constants - peuvent donc être représentés par une fonction de transfert dans le domaine de Laplace ou le domaine S), est que les pôles de la fonction de transfert du système doivent être sur le côté gauche de l'avion S.

Pour les systèmes à temps discret, si les pôles sont en dehors du cercle unitaire, les valeurs représentées en interne ainsi que la sortie du système peuvent croître sans limite. Si les pôles sont situés sur le cercle unitaire, les valeurs internes au système ainsi que la sortie peuvent osciller.

Pour un système stable, les valeurs internes et la sortie du système devraient être fonction de l'entrée du système. Ce ne sera pas le cas si le système est oscillant ou a des valeurs qui dépassent la taille des nombres utilisés pour représenter les valeurs internes (dépassement de registre).

Si les pôles sont trop proches du cercle unitaire, le système peut être légèrement stable. Dans de tels cas, le système peut se comporter pour un ensemble limité de conditions d'entrée, mais peut devenir incontrôlé pour d'autres conditions. La raison en est que les systèmes DSP sont intrinsèquement non linéaires. Les valeurs internes sont souvent représentées en utilisant l'arithmétique à virgule fixe et sont toujours stockées dans des registres de taille finie, donc si les valeurs maximales qui peuvent être représentées sont dépassées, le système subit une non linéarité. Une autre caractéristique des systèmes DSP est que les signaux sont quantifiés. La quantification du signal ajoute des effets non linéaires de bas niveau au système. L'erreur de quantification est souvent modélisée sous forme de bruit, mais elle peut devenir corrélée avec les valeurs du système et entraîner des oscillations appelées cycles limites.

Il faut veiller à ne pas saturer (atteindre les valeurs maximales absolues) dans les représentations à virgule fixe. En général, il est préférable, si les valeurs absolues sont dépassées, que la représentation soit maintenue à la valeur maximale plutôt que de provoquer une inversion de signe de la valeur. C'est ce qu'on appelle la limitation de la saturation et cela permet de mieux préserver le comportement du système que de permettre les inversions de signe.

En général, un système DSP instable saturera à une valeur fixe ou oscillera de manière chaotique en raison de non littéraires internes.

Lorsqu'un système est instable, la sortie du système peut être infinie même si l'entrée dans le système était finie. Cela cause un certain nombre de problèmes pratiques. Par exemple, un contrôleur de bras de robot instable peut entraîner un mouvement dangereux du robot. De plus, les systèmes instables subissent souvent une certaine quantité de dommages physiques, qui peuvent devenir coûteux. Néanmoins, de nombreux systèmes sont intrinsèquement instables - un avion de chasse, par exemple, ou une fusée au décollage, sont des exemples de systèmes naturellement instables. Bien que nous puissions concevoir des contrôleurs qui stabilisent le système, il est d'abord important de comprendre ce qu'est la stabilité, comment elle est déterminée et pourquoi elle est importante.

Un système est dit instable si sa sortie est infinie pour un signal d'entrée fini appliqué.