Qu'entend-on par «échantillonnage stochastique»?

Qu'entend-on exactement par «échantillonnage stochastique» et est-il profondément différent du théorème d'échantillonnage régulier de Nyquist-Shannon ? Est-ce lié à l'échantillonnage d'un processus stochastique?

sampling

— Phonon
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L'échantillonnage stochastique n'a rien à voir avec l'échantillonnage des formes d'onde stochastiques. Cela signifie simplement qu'au lieu d'échantillonner à intervalles réguliers, la forme d'onde est échantillonnée au hasard.

Rappelons que dans un schéma d'échantillonnage selon le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon, un signal continu sur est échantillonné comme , où est l'intervalle d'échantillonnage et est la fréquence d'échantillonnage. Si la fréquence maximale dans le signal est , alors doit être tel que $x(t)$ $\mathbb{R}$ $x[n]=x(nT),\ n\in\mathbb{Z}$ $T$ $f_s=1/T$ $f_{max}$ $f_s$ pour éviter le repliement. Pour faciliter la comparaison avec l'échantillonnage stochastique plus loin dans la réponse, permettez-moi de redéfinir l'échantillonnage sous une forme légèrement différente de $f_s\geq 2f_{max}$

oùest la fonction delta de Dirac etn'est échantillonné que sur l'intervalle.

\begin{aligned} s (t) & = \sum_{n = 0}^{f_{s} τ - 1} δ (t - n T) \\ x [n] & = x (t) \cdot s (t) \end{aligned}

$\begin{align} s(t)&=\sum_{n=0}^{f_s\tau -1}\delta(t-nT)\\ x[n]&=x(t)\cdot s(t) \end{align}$

δ (t)

$\delta(t)$

x (t)

$x(t)$

[0, τ]

$[0,\tau]$

Si vous y réfléchissez, l'échantillonnage régulier est assez limitatif dans la pratique. Le repliement se produit à plusieurs endroits, et les effets Moiré peuvent probablement être reproduits à la maison en prenant une photo de motifs réguliers affichés sur un téléviseur (exemples ci-dessous).

entrez la description de l'image ici

Cependant, c'est toujours un problème avec les caméras, mais jamais avec vos yeux si vous voyez directement le motif! La raison en est que les photorécepteurs de votre rétine ne sont pas disposés selon un schéma régulier contrairement au CCD dans un appareil photo. L'idée derrière (pas nécessairement l'idée qui a conduit à son développement) l'échantillonnage stochastique est très similaire à la disposition non régulière des photorécepteurs dans l'œil. Il s'agit d'une technique d'anticrénelage qui fonctionne en brisant la régularité de l'échantillonnage.

Dans l'échantillonnage stochastique, chaque point du signal a une probabilité non nulle d'être échantillonné (contrairement à l'échantillonnage régulier où certaines sections ne seront jamais échantillonnées). Un schéma d'échantillonnage stochastique uniforme simple peut être mis en œuvre sur le même intervalle que $[0,\tau]$

\begin{aligned} s (t) & = \sum_{n = 0}^{f_{s} τ - 1} δ (t - t_{n}), t_{n} \sim U (0, τ) \\ x [n] & = x (t) \cdot s (t) \end{aligned}

$\begin{align} s(t)&=\sum_{n=0}^{f_s \tau -1}\delta(t-t_n),\quad t_n\sim \mathcal{U}(0,\tau)\\ x[n]&=x(t)\cdot s(t) \end{align}$

$\mathcal{U}(0,\tau)$ $[0,\tau]$

En échantillonnant de manière stochastique, il n'y a pas de "fréquence de Nyquist" dont parler, donc le repliement ne sera plus un problème comme avant. Cependant, cela a un prix. Ce que vous gagnez en anti-aliasing, vous le perdez par le bruit dans le système. L'échantillonnage stochastique introduit du bruit à haute fréquence, bien que pour plusieurs applications (en particulier en imagerie), l'aliasing soit une nuisance beaucoup plus forte que le bruit (par exemple, vous pouvez facilement voir les motifs de Moiré dans les images ci-dessus, mais dans une moindre mesure le bruit de chatoiement ).

Pour autant que je sache, les schémas d'échantillonnage stochastiques sont presque toujours utilisés dans l'échantillonnage spatial (dans le traitement d'images, l'infographie, le traitement de tableaux, etc.) et l'échantillonnage dans le domaine temporel est toujours majoritairement régulier (je ne suis pas sûr que les gens dérangent même avec échantillonnage stochastique dans le domaine temporel). Il existe plusieurs schémas d'échantillonnage stochastiques différents tels que l'échantillonnage de Poisson, l'échantillonnage à gigue, etc., que vous pouvez consulter si vous êtes intéressé. Pour une introduction générale et discrète au sujet, voir

MAZ Dippé et EH Wold, "Antialiasing Through Stochastic Sampling" , SIGGRAPH, Vol. 19, n ° 5, pp. 69-78, 1985.

— Lorem Ipsum
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Il existe certaines applications des schémas d'échantillonnage stochastique dans le domaine temporel; des intervalles d'échantillonnage aléatoires peuvent être utilisés dans la détection compressée , bien que la technique ne soit pas universellement applicable.

— Jason R

@JasonR Merci. Je connais l'application dans la détection compressée, mais cela ne fonctionne qu'en raison de la condition de rareté, c'est pourquoi je ne l'ai pas mentionnée. (d'ailleurs, les exemples que j'ai vus dans la détection compressée sont aussi principalement avec des images / échantillonnage spatial, mais cela pourrait simplement être mon biais de lecture sélective)

— Lorem Ipsum

pourrait être amélioré d'un exemple d'image extrapolée à partir d'un échantillonnage stochastique.

— CyberMen