Pourquoi l'autocorrélation atteint-elle son pic à zéro?

Je sais que le décalage nul dans la fonction d'autocorrélation est égal à son énergie, mais je voudrais comprendre pourquoi le pic est à zéro.

Cherchez-vous une preuve formelle ou l'intuition derrière cela? Dans le dernier cas: "Rien ne peut être plus semblable à une fonction que lui-même". L'autocorrélation au décalage $\tau$ mesure la similitude entre une fonction $f$ et la même fonction décalée de $\tau$ . Notez que si $f$ est périodique, $f$ décalé de n'importe quel multiple entier de $\tau$ et $f$ coïncide, donc l'autocorrélation a une forme de peigne - avec des pics aux multiples entiers de la période avec la même hauteur que le pic central.

La fonction d'autocorrélation d'un signal apériodique à énergie finie en temps discret est donnée par

$$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$$ pour les signaux réels et les signaux complexes respectivement. En nous restreignant aux signaux réels pour faciliter l’exposition, considérons le sommet $x[m]x[m-n]$ . Pour un retard fixe $n$ et un $m$ donné , $x[m]x[m-n]$ aura généralement une valeur positive ou négative. S'il arrive que pour un retard particulier $n$ , $x[m]x[m-n]$ soit non négatif pour tous$m$ , alors tous les termes de la somme s'additionneront (pas d'annulation) et donc$R_x[n]$ est garanti d'avoir une valeur positive. En fait, la somme sera plus grande si tous les pics en$x[m-n]$ s'alignent avec les pics en$x[m]$ et les vallées en$x[m-n]$ s'alignent avec les vallées en$x[m]$ . Par exemple, si$x$ est une fonction sinc suréchantillonnée, disons, $$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$$ avec des pics à$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$et des vallées à $\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ $x(t)$, puis$R_x[n]$aura des maximaà$n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$ (et du même coup, auront desminimaà$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ lorsque les picsserontalignés avec les vallées). Lemaximumglobalde$R_x[n]$ est évidemment au retard $n = 0$ lorsque le plus haut pic de$x[m]$ et$x[m-n]$ coïncide. En effet, cette conclusion vaut non seulement pour ce signal sinc mais àtoutsignal. Au décalage $n = 0$ , nous avons $$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$$ et nous avons la garantie que non seulement tous les pics et vallées sont alignés les uns avec les autres (peu importe où ces se produisent en $x[m]$ ) mais aussi que les pics les plus hauts et les vallées les plus profondes sont alignés de manière appropriée.

Plus formellement, pour les pédants comme @JohnSmith qui exigent des preuves formelles, l' inégalité de Cauchy dit que pour les séquences à valeurs complexes $u$ et $v$ ,

$$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$$ Nous limiter aux séquences de valeur réelle uniquement pour faciliter l'exposition, une version plus détaillée dit que $$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$$ où l'égalitétient dans la borne supérieure (inférieure) s'il y a un nombre positif (négatif)$\lambda$tel que$u = \lambda v$, (c'est-à-dire$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$où$\lambda > 0$($\lambda < 0$)). En reconnaissant que les sommes à l'intérieur des racines carrées sont les énergies $\mathcal E_u$ et $\mathcal E_v$ des séquences, nous pouvons écrire que $$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$$ Réglage$u[m] = x[m]$et$v[m] = x[m-n]$où$n$est un entier, nous avons cela $$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$$ et reconnaissant que maintenant$\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$, nous avons que $$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$$ avec égalité tenant dans l'une des bornes si$x[m] = \lambda x[m-n]$pour tous $m$ . Enfin, notant que $$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$$ et que lorsque $n=0$ , la séquence $u[m] = x[m]$ est identique à la séquence $v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$ (that is, $\lambda = 1$ is the positive real number such that $u[m] = \lambda v[m]$ for all $m$), we have that $$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$$ showing that $R_x[n]$ has a peak value at $n=0$, all other autocorrelation values are smaller than this peak.

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Lorsque $x[m]$ est un signal périodique de puissance finie, les sommes données ci-dessus pour $R_x[n]$ divergent. Dans de tels cas, on utilise la fonction d'autocorrélation périodique

$$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$$ où $N$ est la période de $x[m]$ , c'est-à-dire,$x[m] = x[m-N]$ for all integers $m$. Note that $R_x[n]$ is a periodic function of $n$. Now, while it is true that $R_x[0] \geq |R_x[n]|$ for $1 < n < N$, the maximum value $R_x[0]$ also repeats periodically: $R_x[kN] = R_x[0]$$k$$R_x[n] = -R_x[0]$$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$, typically at $n = N/2$ if $N$ is even, and so we can have valleys that are as deep as the tallest peaks in the periodic autocorrelation function. The simplest example of such a sequence is when $N=2$ and one period of the sequence is $[1 ~ -1]$ whose periodic autocorrelation is just the periodic sequence $[2 ~ -2]$, that is, alternating peaks and valleys with the autocorrelation $R_x[n]$ having peak value $2$ when $n$ is an even integer (don't forget that $0$ is an even integer!) and having "anti peak" value $-2$ at odd values of $n$. More generally, we have this phenomenon whenever $N$ is even and one period $\vec{x}$ can be decomposed into $[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$.

using

$$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$$

one can easily show that

$$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$$

the first term is simply $R_x[0]$ and the second term is a non-negative number being subtracted from the first. that means $R_x[m]$ cannot exceed $R_x[0]$ for any $m$.