Comment fonctionne la «région de convergence» de la transformation ?

Je suis novice en DSP et j'ai quelques doutes concernant la transformation et sa région de convergence (ROC).$\mathcal Z$

Je sais ce qu'est un -transform. Mais j'ai du mal à comprendre le ROC. Tout d'abord, j'ai une certaine confusion avec et . Je me fais facilement attraper en échangeant ces termes. Je sais que le ROC définit la région où la transformation existe. D'après le Web et mes livres, il est écrit: X ( z ) x ( z ) $\mathcal Z$$X(z)$$x(z)$$\mathcal Z$

Si est une séquence de durée finie, alors le ROC est le plan entier, sauf éventuellement ou . Une séquence de durée finie est une séquence non nulle dans un intervalle finiz z = 0 | z | = ∞ n 1 ≤ n ≤ n $x[n]$$z$$z = 0$$\lvert z\rvert = \infty$$n_1 \le n \le n_2$

Et plus tard, il dit:

Lorsque il y aura un terme et donc le ROC n'inclura pas . Lorsque la somme sera infinie et donc le ROC n'inclura pas .z - 1 z = 0 n 1 < 0 | z | = $n_2 > 0$$z^{-1}$$z=0$$n_1 < 0$$\lvert z\rvert=\infty$

C'est là que je suis coincé!. Ce qu'ils essaient de dire dans la ligne ci-dessus " Lorsque il y aura un terme et donc le ROC n'inclura pasz - 1 z = $n_2 > 0$$z^{-1}$$z=0$ " Que veulent-ils dire par ? Remplacent-ils par , si oui dans quelle équation?z $z=0$$z$$0$

Comment calculer la région de convergence pour une séquence infinie?

Pour être tout à fait honnête, je pensais que la théorie derrière la transformation Z était un peu opaque à l'université aussi. Rétrospectivement, suivre un cours d'analyse complexe l'aurait rendu plus clair. Et moi aussi, je n'aime pas les conventions de notation qui semblent être utilisées pour ce genre de choses. À proprement parler, la convention habituelle ici est que

• $x[n]$ désigne une séquence à temps discret
  • $n\in \mathbb{Z}$
  • les crochets indiquent un argument discret
• $X(z)$ dénote une fonction transformée à valeur continue
  • $z\in\mathbb{C}$ (est un nombre complexe)
  • les parenthèses désignent une fonction acceptant un paramètre à valeur continue
  • le majuscule dénote une version transformée d'une autre fonction / séquence x (une notation similaire est utilisée pour les transformées de Fourier: F ( j ω ) ↔ f ( t $X$$x$$F(j\omega)\leftrightarrow f(t)$

Que signifient-ils par z = 0? Remplacent-ils z par 0, si oui dans quelle équation?

Cela signifie, branchez simplement dans votre définition habituelle de la transformée en Z.$z=0$

$X(z) = \sum_{n=\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

Généralement (plus précisément, lorsque pour certains n ≠ 0 ), cette somme va diverger (à l'infini) pour certains z complexes . Par exemple, soit x [ 0 ] = 1 , x [ 1 ] = 1 et x [ n ] = 0 pour n < 0 et n > 1 . Alors X ( z ) = 1 + $x[n] \ne 0$$n \ne 0$$z$$x[0] = 1, x[1] = 1$$x[n]=0$$n<0$$n>1$$X(z) = 1 + z^{-1}$$z=0$$\lim_{z\rightarrow 0} X(z)=\infty$

Lorsque votre texte dit " Lorsque il y aura un terme et donc le ROC n'inclura pasz - 1 z = $n_2>0$$z^{−1}$$z=0$ x[n]n>0 z - n z=0 ", ce qu'ils veulent dire par là, lorsque n'est pas nul pour certains , il est inévitable que la transformée z inclue un terme , qui diverge à l'infini à . C'est tout.$x[n]$$n>0$$z^{-n}$$z=0$

Comment calculer la région de convergence pour une séquence infinie?

Beaucoup de maths. Ha!

srsly, la façon de procéder est d'obtenir une formulation algébrique pour la séquence en question, de la brancher sur la définition de la transformée en Z et d'utiliser les outils disponibles à partir de l'analyse des séries géométriques (et des séries de puissance complexes) pour déterminer où ce Z -transforme converge / diverge. En pratique, déterminer si converge est la question la plus importante à laquelle répondre, car cela détermine la stabilité, et si vous pouvez ou non obtenir une réponse en fréquence du système, etc. Mais la causalité peut aussi avoir de l'importance, selon ce que vous fais.$|z|=1$