Distribution de

Existe-t-il une expression canonique ou analytique pour la distribution de probabilité de la variable aléatoire complexe à symétrie circulaire : où ?$Z$

$$Z = e^{j\theta},$$ $\theta \sim \mathcal U(0, 2\pi)$

Notes annexes:

On sait que les parties réelles et imaginaires, c'est-à-dire: ont des densités marginales données par : mais parce qu'ils ne sont pas indépendants, l'informatique leur PDF commun n'est pas anodin.

$$\Re(Z) = \cos \theta \\ \Im(Z) = \sin \theta$$ $$f_{\Re(Z)}(z) = f_{\Im(Z)}(z) = \frac{1}{\pi\sqrt{1-z^2}}, \quad -1 < z < 1,$$

EDIT: est différent d'une normale complexe en ce que ici, l'amplitudeest déterministe et identique 1, alors que si était une normale complexe,serait Rayleigh distribué.$Z$$|Z|$ $Z$$|Z|$

Étant donné que les parties réelle et imaginaire dépendent beaucoup l'une de l'autre (si vous avez la valeur de l'une, vous connaissez exactement la valeur de l'autre), il semble que vous pourriez appliquer le pdf marginal de la partie réelle $r$, étant donné une valeur de la partie imaginaire $i$:

$$f_{ri}(r, i) = f_{r | i}(r\ |\ i) f_i(i)$$

Vous avez noté individuellement le pdf des parties réelle et imaginaire:

$$f_r(z) = f_i(z) = \frac{1}{\pi\sqrt{1-z^2}}$$

Cela laisse le pdf marginal $f_{r | i}(r\ |\ i)$. N'oubliez pas que pour une réalisation donnée de la variable aléatoire$Z$, les deux composantes sont liées de façon déterministe:

$$r^2 + i^2 = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$$

Compte tenu de cette relation, nous pouvons résoudre pour $r$ en terme de $i$:

$$r^2 = 1 - i^2$$ $$r = \pm \sqrt{1-i^2}$$

Par conséquent, le pdf marginal de $r$ étant donné une valeur de $i$ est une paire d'impulsions:

$$f_{r | i}(r\ |\ i) = \frac{1}{2}\delta\left(r - \sqrt{1 - i^2}\right) + \frac{1}{2}\delta\left(r + \sqrt{1 - i^2}\right)$$

Assembler ces éléments donnerait:

$$f_{ri}(r, i) = \frac{\delta\left(r - \sqrt{1 - i^2}\right) + \delta\left(r + \sqrt{1 - i^2}\right)}{2\pi\sqrt{1-i^2}}$$

En y réfléchissant géométriquement, pour chaque ligne horizontale $i = i_0$ (pour $i_0 \in [-1, 1]$) dans le $ri$ avion, il n'y a que deux points $r_0 = \pm \sqrt{1 - i_0^2}$qui sont non nulles, et le pdf a une hauteur infinie à ces points. Comme on pourrait s'y attendre, ces points d'intersection (c'est-à-dire les points où le pdf n'est pas nul) sont ceux où la ligne horizontale coupe le cercle unitaire!

Cela signifie que le joint pdf a une valeur nulle, sauf le long du cercle unitaire, où il prend une hauteur infinie. Cela correspond à l'intuition, comme la définition de la variable aléatoire$Z$ garantit que ne peut prendre que des valeurs qui se trouvent sur le cercle unitaire.

Il n'y a rien de spécial dans la façon dont j'ai exposé cela; vous pouvez également transposer le problème et regarder les lignes verticales dans le$ri$ plan de la forme $r = r_0$ et vous trouveriez la même relation en raison du couplage étroit des deux variables aléatoires.

Je crois que cette formulation est équivalente à celle de la réponse d'AlexTP , mais sa dérivation est probablement plus intuitive.

Évitez les calculs compliqués, laissez $X$ et $Y$être iid variables aléatoires normales standard , votre variable aléatoire$Z$ a la même distribution de $V$

$$V \triangleq \left(\frac{X}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{Y}{\sqrt{X^2+Y^2}} \right)$$ (facile à voir $\lVert V\rVert=1$ et l'angle de $V$ équivaut à l'angle d'une normale circulairement symétrique donc uniforme).

Ce genre de $V$ est l'une des constructions d'un point uniformément réparti sur le cercle (qui peut être généralisé à $(n-1)$-sphere, voir Sphere Point Picking et par exemple cette réponse ).

Ainsi le PDF de $Z$est simplement l'inverse de la circonférence du cercle unitaire. Pour$Z_\rho = \rho e^{j\Theta}$ avec fixe $\rho$ et uniforme $\Theta$,

en coordonnées polaires (où la zone infinitésimale est $r dr d\theta$),

$$f_{R,\Theta}(r,\theta)=\frac{1}{2\pi} \delta(r - \rho)$$

Sur la base des réponses existantes, qui m'ont ouvert les yeux sur ce qui se passe ici, je voudrais présenter une autre expression très simple pour la solution, qui est légèrement différente de celle de la réponse d'AlexTP (et qui s'est avérée être équivalente à celle donnée dans la réponse de Jason R , comme indiqué ci-dessous dans la partie EDIT).

[EDIT: maintenant qu'AlexTP a édité sa réponse, nos expressions pour le PDF sont identiques; donc les trois réponses sont finalement d'accord les unes avec les autres].

Soit la variable aléatoire complexe $Z=X+jY$ être défini comme

$$Z=\rho e^{j\theta}\tag{1}$$

où le rayon $\rho$ is deterministic and given, whereas the angle $\theta$ is random and uniformly distributed on $[0,2\pi)$. I state without further proof that $Z$ is circularly symmetrical, from which it follows that its probability density function (PDF) must satisfy

$$f_Z(z)=f_Z(x+jy)=f_Z(r),\qquad\textrm{with}\quad r=\sqrt{x^2+y^2}\tag{2}$$

i.e., it can be written as a function of the radius (magnitude) $r$.

Since the PDF must be zero everywhere except for $r=\rho$, and since it must integrate to unity (when integrated over the 2-dimensional plane), the only possible PDF is

$$f_Z(r)=\frac{1}{2\pi}\delta(r-\rho)\tag{3}$$

It can be shown that $(3)$ leads to the correct marginal densities for the random variables $X$ and $Y$.

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EDIT:

After some very useful discussion in the comments it appears that we've managed to agree on one solution to the problem. I will show in the following that the unassuming formula $(3)$ is actually equivalent to the more involved looking formula in Jason R's answer. Note that I use $r$ for the magnitude (radius) of the complex RV $Z$, whereas in Jason's answer $r$ denotes the real part of $Z$. I will use $x$ and $y$ for the real and imaginary parts, respectively. Here we go:

$$f_Z(r)=\frac{1}{2\pi}\delta(r-\rho)=\frac{1}{2\pi}\delta\left(\sqrt{x^2+y^2}-\rho\right)\tag{4}$$

We know that $\delta\big(g(x)\big)$ is given by

$$\delta\big(g(x)\big)=\sum_i\frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}\tag{5}$$

where $x_i$ are the (simple) roots of $g(x)$. We have

$$g(x)=\sqrt{x^2+y^2}-\rho\quad\textrm{and}\quad g'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{r}\tag{6}$$

The two roots $x_i$ are

$$x_{1,2}=\pm\sqrt{\rho^2-y^2}\tag{7}$$

Consequently,

$$|g'(x_1)|=|g'(x_2)|=\frac{\sqrt{\rho^2-y^2}}{\rho}=\sqrt{1-\left(\frac{y}{\rho}\right)^2}\tag{8}$$

With $(5)$-$(8)$, Eq. $(4)$ can be written as

$$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\left(\frac{y}{\rho}\right)^2}}\left[\delta\left(x-\sqrt{\rho^2-y^2}\right)+\delta\left(x+\sqrt{\rho^2-y^2}\right)\right]\tag{9}$$

For $\rho=1$, Eq. $(9)$ is identical to the expression given in Jason R's answer.

I think we can now agree that Eq. $(3)$ is a correct (and very simple) expression for the PDF of the complex RV $Z=\rho e^{j\theta}$ with deterministic $\rho$ and uniformly distributed $\theta$.