Quelle est la différence entre la PSD et la magnitude au carré du spectre de fréquence?

Le spectre de puissance d'un signal peut être calculé en prenant la magnitude au carré de sa transformée de Fourier. Étant une personne audio, le signal qui m'intéresse serait une série chronologique.

En quoi cette représentation diffère-t-elle d'une PSD (densité spectrale de puissance) et, surtout, dans quelles situations pratiques doit-on utiliser une PSD au lieu du spectre de puissance décrit ci-dessus?

— learnvst
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La densité spectrale de puissance décrit la densité de puissance dans un processus aléatoire stationnaire $X(t)$ par unité de fréquence. Par le théorème de Wiener-Khinchin , il peut être calculé comme suit pour un processus aléatoire stationnaire au sens large :

S_{x x} (f) = \int_{- \infty}^{\infty} r_{x x} (τ) e^{- j 2 π f τ} d τ

$S_{xx}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} r_{xx}(\tau) e^{-j2\pi f \tau} d\tau$

où $r_{xx}(\tau)$ est la fonction d'autocorrélation du processus $X(t)$ :

r_{X X} (τ) = E (X (t) X (t - τ))

$r_{xx}(\tau) = \mathbb{E}\left(X(t)X(t - \tau)\right)$

Ceci n'est valable que pour un processus stationnaire au sens large car sa fonction d'autocorrélation est uniquement fonction du décalage temporel $\tau$ et non du temps absolu $t$ ; autrement dit, cela signifie que ses statistiques de second ordre ne changent pas en fonction du temps.

Cela dit, si vous disposez d'un modèle statistique suffisamment détaillé et précis pour votre signal, vous pouvez calculer sa densité spectrale de puissance en utilisant la relation ci-dessus. À titre d'exemple, cela peut être utilisé pour calculer la densité spectrale de puissance des signaux de communication, compte tenu des statistiques des symboles d'information transportés par le signal et de toute mise en forme d'impulsion utilisée pendant la transmission.

Dans la plupart des situations pratiques, ce niveau d'information n'est cependant pas disponible et il faut recourir à l' estimation de la densité spectrale de puissance d'un signal donné. Une approche très simple consiste à prendre la magnitude au carré de sa transformée de Fourier (ou, peut-être, la magnitude au carré de plusieurs transformées de Fourier à court terme et à les faire la moyenne) comme estimation de la PSD. Cependant, en supposant que le signal que vous observez contient une composante stochastique (ce qui est souvent le cas), ce n'est là encore qu'une estimationde ce que le vrai PSD sous-jacent est basé sur une seule réalisation (c'est-à-dire une seule observation) du processus aléatoire. La question de savoir si le spectre de puissance que vous calculez présente une ressemblance significative avec le PSD réel du processus dépend de la situation.

Comme le note ce post précédent , il existe de nombreuses méthodes d'estimation de la PSD; ce qui convient le mieux dépend du caractère du processus aléatoire, de toute information a priori que vous pourriez avoir et des caractéristiques du signal qui vous intéressent le plus.

— Jason R
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Je suis d'accord, mais je voudrais souligner que toute mesure exploratoire de bruit / signal du monde réel n'est qu'une estimation. Accepter que nous devons formuler «assez bien»; un critère. Ensuite, nous pouvons descendre du train de bruit et accepter une estimation qui correspond au "chiffre de bruit" de l'application. Acceptez quelques échecs dans la vie et vous pouvez avoir des victoires.

— rrogers