Trouver des approximations polynomiales d'une onde sinusoïdale

Je veux approximer l'onde sinusoïdale donnée par en appliquant un forme d' onde polynomiale à une simple onde triangulaire , générée par la fonction$\sin\left(\pi x\right)$

$$T\left(x\right)=1-4\left|\tfrac{1}{2}-\operatorname{mod}(\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4},\ 1)\right|$$

où est la partie fractionnaire de :$\operatorname{mod}(x, 1)$$x$

$$\operatorname{mod}(x, y) \triangleq y \cdot \left( \left\lfloor \frac{x}{y}\right\rfloor - \frac{x}{y} \right)$$

Une série Taylor pourrait être utilisée comme forme d'onde.

$$S_1\left(x\right)=\frac{\pi x}{2}-\frac{\frac{\pi x}{2}^3}{3!}+\frac{\frac{\pi x}{2}^5}{5!}-\frac{\frac{\pi x}{2}^7}{7!}$$

Étant donné les fonctions ci-dessus, $S_1(T(x))$ nous donnera une approximation décente d'une onde sinusoïdale. Mais nous devons aller jusqu'à la 7e puissance de la série pour obtenir un résultat raisonnable, et les pics sont un peu bas et n'auront pas une pente exactement nulle.

Au lieu de la série Taylor, nous pourrions utiliser un onduleur polynomial suivant quelques règles.

• Doit passer par -1, -1 et + 1, + 1.
• La pente à -1, -1 et + 1, + 1 doit être nulle.
• Doit être symétrique.

Une fonction simple répondant à nos exigences:

$$S_2\left(x\right)=\frac{3x}{2}-\frac{x^3}{2}$$

Les graphiques de $S_2(T(x))$ et $\sin\left(\pi x\right)$ sont assez proches, mais pas aussi proches que la série Taylor. Entre les pics et les passages à zéro, ils s'écartent visiblement un peu. Une fonction plus lourde et plus précise répondant à nos exigences:

$$S_3\left(x\right)=\frac{x(x^2-5)^2}{16}$$

C'est probablement assez proche pour mes besoins, mais je me demande si une autre fonction existe qui se rapproche de l'onde sinusoïdale de plus près et est moins coûteuse en termes de calcul. J'ai une assez bonne compréhension de la façon de trouver des fonctions répondant aux trois exigences ci-dessus, mais je ne suis pas sûr de savoir comment trouver des fonctions qui répondent à ces exigences et correspondent le mieux à une onde sinusoïdale.

Quelles méthodes existent pour trouver des polynômes qui imitent une onde sinusoïdale (lorsqu'ils sont appliqués à une onde triangulaire)?

---

Pour clarifier, je ne recherche pas nécessairement uniquement des polynômes symétriques impairs, bien que ce soit le choix le plus simple.

Quelque chose comme la fonction suivante pourrait également répondre à mes besoins:

$$S_4\left(x\right)=\frac{3x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{4}$$

Cela répond aux exigences dans la plage négative, et une solution par morceaux pourrait être utilisée pour l'appliquer également à la plage positive; par exemple

$$\frac{3x}{2}-\frac{P\left(x,2\right)}{4}-\frac{P\left(x,4\right)}{4}$$

où est la fonction de puissance signée .$P$

Je serais également intéressé par des solutions utilisant la fonction de puissance signée pour prendre en charge les exposants fractionnaires, car cela nous donne un autre "bouton à tordre" sans ajouter un autre coefficient.

$$a_0x\ +a_1P\left(x,\ p_1\right)$$

Étant donné les bonnes constantes, cela pourrait potentiellement obtenir une très bonne précision sans la lourdeur des polynômes du cinquième ou du septième ordre. Voici un exemple répondant aux exigences décrites ici à l'aide de constantes : .$a_0=1.\overline{666}, a_1=-0.\overline{666}, p_1=2.5$

$$\frac{5x-2P\left(x,\ \frac{5}{2}\right)}{3}$$

En fait, ces constantes sont très proches de et et . Le fait de les brancher donne quelque chose qui ressemble extrêmement à une onde sinusoïdale.$\frac \pi 2$$1 - \frac \pi 2$$e$

$$\frac{\pi}{2}x\ +\left(1-\frac{\pi}{2}\right)P\left(x,e\right)$$

En d'autres , semble très proche de entre 0,0 et π / 2,1. Des réflexions sur la signification de cela? Peut-être qu'un outil comme Octave peut aider à découvrir les «meilleures» constantes pour cette approche.$x-\frac{x^e}{6}$$\sin(x)$

Il y a environ une décennie, j'ai fait cela pour une société de synthétiseur de musique anonyme qui avait de la R&D pas trop loin de mon condo à Waltham MA. (je ne peux pas imaginer qui ils sont.) Je n'ai pas les coefficients.

mais essayez ceci:

$$\begin{align} f(x) &\approx \sin\left(\tfrac{\pi}{2} x \right) \qquad \qquad \text{for }-1 \le x \le +1 \\ \\ &= \tfrac{\pi}{2} x (a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4) \\ \end{align}$$

cela garantit que .$f(-x) = -f(x)$

Pour garantir que alors$f'(x) \Big|_{x=\pm1} =0$

$$f'(x) = \tfrac{\pi}{2}( a_0 + 3 a_1 x^2 + 5 a_2 x^4)$$

$$a_0 + 3 a_1 + 5 a_2 = 0 \tag{1}$$

Voilà la première contrainte. Pour garantir que , puis$|f(\pm 1)| = 1$

$$a_0 + a_1 + a_2 = \tfrac{2}{\pi} \tag{2}$$

Voilà la deuxième contrainte. Éliminer et résoudre les égaliseurs. (1) et (2) pour en termes de (qui reste à ajuster):a 2 a $a_0$$a_2$$a_1$

$$a_0 = \tfrac{5}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1$$

$$a_2 = -\tfrac{1}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1$$

Il ne vous reste plus qu'un coefficient, , à tordre pour de meilleures performances:$a_1$

$$f(x) = \tfrac{\pi}{2} x \left((\tfrac{5}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1) + a_1 x^2 - (\tfrac{1}{2 \pi} + \tfrac{1}{2} a_1)x^4 \right)$$

C'est ainsi que je ferais tourner pour de meilleures performances pour un oscillateur à onde sinusoïdale. Je réglerais en utilisant ce qui précède et la symétrie de l'onde sinusoïdale autour de et placerais exactement un cycle entier dans un tampon avec une puissance de deux nombres de points (disons 128, je m'en fiche) et exécuter la FFT sur ce cycle parfait. x = $a_1$$x=1$

Le bac de résultat FFT 1 sera la force du sinus et devrait être d'environ . Maintenant, vous pouvez régler pour augmenter et diminuer la distorsion de votre 3e harmonique. Je commencerais par pour que . C'est dans la case 3 des résultats FFT Mais la 5ème distorsion harmonique (valeur dans la case 5) sera conséquente (elle montera lorsque la 3ème harmonique descendra). J'ajusterais pour que la force du 5ème niveau harmonique soit égale au 3ème niveau harmonique. Il sera d'environ -70 dB à partir de la 1ère harmonique (si je me souviens bien). Ce sera l'onde sinusoïdale la plus agréable à entendre à partir d'un polynôme symétrique symétrique à 5 coefficients bon marché.a 1 a 1 ≈ $N/2$$a_1$a0≈1a$a_1 \approx \tfrac{5}{\pi} - 2$$a_0 \approx 1$$a_1$

Quelqu'un d'autre peut écrire le code MATLAB. Comment cela vous semble-t-il?

Ce qui est généralement fait est une approximation minimisant une certaine norme de l'erreur, souvent la norme (où l'erreur maximale est minimisée), ou la norme L 2 (où l'erreur quadratique moyenne est minimisée). L' approximation L ∞ se fait en utilisant l' algorithme d'échange Remez . Je suis sûr que vous pouvez trouver du code open source implémentant cet algorithme. Cependant, dans ce cas, je pense qu'une optimisation l 2 (discrète) très simple est suffisante. Regardons un peu de code Matlab / Octave et les résultats:$L_{\infty}$$L_2$$L_{\infty}$$l_2$

x = espace lins (0, pi / 2 300); % grille sur [0, pi / 2]
x = x (:);
% système d'équations linéaires surdéterminé
% (en utilisant uniquement des pouvoirs impairs)
A3 = [x, x. ^ 3];
A5 = [x, x. ^ 3, x. ^ 5];
b = sin (x);
% résoudre au sens l2
c3 = A3 \ b;
c5 = A5 \ b;
f3 = A3 * c3; % 3e approximation d'ordre
f5 = A5 * c5; % Approximation du 5ème ordre

La figure ci - dessous montre les erreurs d'approximation pour les -order et pour le 5 t h -order approximations. Les erreurs d'approximation maximales sont et , respectivement.$3^{rd}$$5^{th}$8.8869e-031.5519e-04

Les coefficients optimaux sont

c3 =
   0,988720369237930
  -0.144993929056091

et

c5 =
   0,99976918199047515
  -0.16582163562776930
   0,00757183954143367

Donc, l'approximation du troisième ordre est

$$\sin(x)\approx 0.988720369237930x-0.144993929056091x^3,\quad x\in[-\pi/2,\pi/2]\tag{1}$$

et l'approximation du cinquième ordre est

$$\sin(x)\approx 0.99976918199047515x-0.16582163562776930x^3+\\0.00757183954143367x^5,\quad x\in[-\pi/2,\pi/2]\tag{2}$$

ÉDITER:

J'ai examiné les approximations avec la fonction de puissance signée, comme suggéré dans la question, mais la meilleure approximation n'est guère meilleure que l'approximation du troisième ordre ci-dessus. La fonction d'approximation est

$$f(x)=x - \frac{1}{p}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{1-p}x^p,\qquad x\in[0,\pi/2]\tag{3}$$

où les constantes ont été choisies de telle sorte que et f ′ ( π / 2 ) = 0 . La puissance p a été optimisée pour obtenir la plus petite erreur maximale dans la plage [ 0 , π / 2 ] . La valeur optimale pour p s'est avérée être p = 2,774 . La figure ci-dessous montre les erreurs d'approximation pour l'approximation du troisième ordre ( 1 ) et pour la nouvelle approximation ( $f'(0)=1$$f'(\pi/2)=0$$p$$[0,\pi/2]$$p$$p=2.774$$(1)$ :$(3)$

L'erreur d'approximation maximale de l'approximation est , mais notez que l'approximation du troisième ordre ne dépasse que cette erreur proche de π / 2 et que, pour la plupart, son erreur d'approximation est en fait plus petite que celle de la fonction de puissance signée.$(3)$4.5e-3$\pi/2$

EDIT 2:

Si cela ne vous dérange pas, vous pouvez également utiliser la formule d'approximation sinus de Bhaskara I , qui a une erreur d'approximation maximale de 1.6e-3:

$$\sin(x)\approx\frac{16x(\pi-x)}{5\pi^2-4x(\pi-x)},\qquad x\in [0,\pi/2]\tag{4}$$

Commencez avec un polynôme paramétré de 5ème ordre de symétrie étrange sinon général :

$$\begin{align} f(x) &= a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 \\ &= x\big( a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4 \big) \\ &= x\bigg( a_0 + x^2 \Big(a_1 + a_2 x^2\Big) \bigg) \\ \end{align}$$

Nous plaçons maintenant quelques contraintes sur cette fonction. L'amplitude doit être de 1 aux pics, c'est-à-dire $f(1) = 1$ . Substituer $1$ à $x$ donne:

$$a_0 + a_1 + a_2 = 1 \tag1$$

Voilà une contrainte. La pente aux pics doit être nulle, c'est-à-dire $f'(1) = 0$ . La dérivée de $f(x)$ est

$$a_0 + 3 a_1 x^2 + 5 a_2 x^4$$

et substituer $1$ à $x$ donne notre deuxième contrainte:

$$a_0 + 3 a_1 + 5 a_2 = 0 \tag2$$

Maintenant , nous pouvons utiliser nos deux contraintes à résoudre pour $a_1$ et $a_2$ en termes d' $a_0$ .

$$a_1=\frac{5}{2}-2a_0 \\ a_2=a_0-\frac{3}{2}\tag{3}$$

Il ne reste plus qu'à modifier $a_0$ pour obtenir un bon ajustement. Soit dit en passant, $a_0$ (et la pente à l'origine) finit par être $\approx\frac{\pi}{2}$ , comme nous pouvons le voir sur untracéde la fonction.

Optimisation des paramètres

Voici quelques optimisations des coefficients, qui se traduisent par ces amplitudes relatives des harmoniques par rapport à la fréquence fondamentale (1ère harmonique):

Dans la série complexe de Fourier :

$$\sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{i\tfrac{2\pi}{P} kx},$$

d'un véritable $P\text{-}$ forme d' onde périodique avec $P = 4$ et la symétrie de temps environ $x = 1$ et d'une demi - période définie par fonction impaire $f(x)$ au-dessus de $-1 \le x \le 1,$ le coefficient de la $k\text{th}$ exponentielle complexe harmonique est la suivante :

$$c_k = \frac{1}{P}\int_{-1}^{-1+P}\left(\cases{f(x)&if $x < 1$\\-f(x-2)&if $x \ge 1$}\right)e^{-i\tfrac{2\pi}{P}kx}dx.$$

En raison de la relation $2 \cos(x) = e^{ix} + e^{-ix}$ (voir: formule d'Euler ), l'amplitude d'une harmonique sinusoïdale réelle avec $k > 0$ est $2\left|c_k\right|,$ qui est le double de la grandeur de l'exponentielle complexe de la même fréquence. Cela peut être massé sous une forme qui permet à certains logiciels de mathématiques symboliques de simplifier l'intégrale plus facilement:

$$2|c_k| = \frac{2}{4}\left|\int_{-1}^{3}\left(\cases{f(x)&if $x < 1$\\-f(x-2)&if $x \ge 1$}\right)e^{-i\tfrac{2\pi}{4}kx}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{1}^{3}f(x-2)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{-1}^{1}f(x+2-2)e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx} - e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}\right)dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|e^{i\tfrac{\pi}{2}x}\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx} - e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}\right)dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\frac{\pi}{2}k(x-1)}-e^{-i\frac{\pi}{2}k(x+1)}\right)dx\right|$$

The above takes advantage of that $|e^{ix}|=1$ for real $x.$ It is easier for some computer algebra systems to simplify the integral by assuming $k$ is real, and to simplify to integer $k$ at the end. Wolfram Alpha can integrate individual terms of the final integral corresponding to the terms of the polynomial $f(x)$. For the coefficients given in Eq. 3 we get amplitude:

$$= \left|\frac{48\left((-1)^k - 1\right)\left(16\,a_0\left(\pi^2 k^2 - 10\right) - 5\times(5\pi^2 k^2 - 48)\right)}{\pi^6k^6}\right|$$

5th order, continuous derivative

We can solve for the value of $a_0$ that gives equal amplitude $2|c_k|$of the 3rd and the 5th harmonic. There will be two solutions corresponding to the 3rd and the 5th harmonic having equal or opposite phases. The best solution is the one that minimizes the maximum amplitude of the 3rd and above harmonics and equivalently the maximum relative amplitude of the 3rd and above harmonics compared to the fundamental frequency (1st harmonic):

$$a_0 = \frac{3\times(132375\pi^2 - 130832)}{16\times(15885\pi^2 - 16354)}\approx 1.569778813,\\ a_1 = \frac{5}{2} - 2a_0 = \frac{79425\pi^2 - 65416}{8\times(-15885\pi^2 + 16354)}\approx -0.6395576276,\\ a_2 = a_0 - \frac{3}{2} = \frac{15885\pi^2}{16\times(15885\pi^2 - 16354)}\approx 0.06977881382.$$

This gives the fundamental frequency at amplitude $\frac{13679616}{15885\pi^6 - 16354\pi^4} \approx 1.000071420$ and both the 3rd and the 5th harmonic at relative amplitude $\frac{1}{8906}$ or about $-78.99\text{ dB}$ compared to the fundamental frequency. A $k\text{th}$ harmonic has relative amplitude $\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|8177k^2 - 79425\right|}{142496 k^6}.$

7th order, continuous derivative

Likewise, the optimal 7th order polynomial approximation with the same initial constraints and the 3rd, 5th, and 7th harmonic at the lowest possible equal level is:

$$\begin{align} f(x) &= a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 + a_3 x^7\\ &= x\big( a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4 + a_3 x^7 \big) \\ &= x\bigg( a_0 + x^2 \Big(a_1 + x^2 \big(a_2 + a_3 x^2 \big) \Big) \bigg) \\ \end{align}$$

$$a_0 = \frac{2a_2 + 4a_3 + 3}{2} \approx 1.570781972,\\ a_1 = -\frac{4a_2 + 6a_3 + 1}{2} \approx -0.6458482979,\\ a_2 = \frac{347960025\pi^4 - 405395408\pi^2}{16\times(281681925 \pi^4 - 405395408 \pi^2 + 108019280)} \approx 0.07935067784,\\ a_3 = - \frac{16569525\pi^4}{16\times(281681925\pi^4 - 405395408\pi^2 + 108019280)} \approx -0.004284352588.$$

This is the best of four possible solutions corresponding to equal/opposite phase combinations of the 3rd, 5th, and 7th harmonic. The fundamental frequency has amplitude $\frac{2293523251200}{281681925\pi^8 - 405395408\pi^6 + 108019280\pi^4} \approx 0.9999983752,$ and the 3rd, 5th, and 7th harmonics have relative amplitude $\frac{1}{1555395} \approx -123.8368\text{ dB}$ compared to the fundamental. A $k\text{th}$ harmonic has relative amplitude $\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|1350241k^4 - 50674426k^2 + 347960025\right|}{597271680k^8}$ compared to the fundamental.

5th order

If the requirement of a continuous derivative is dropped, the 5th order approximation will be more difficult to solve symbolically, because the amplitude of the 9th harmonic will rise above the amplitude of the 3rd, 5th, and the 7th harmonic if those are constrained to be equal and minimized. Testing 16 different solutions corresponding to different subsets of three harmonics from $\{3, 5, 7, 9\}$ being of equal amplitude and of equal or opposite phases, the best solution is:

$$f(x) = a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5\\ a_0 = 1 - a_1 - a_2 \approx 1.570034357\\ a_1 = \frac{3\times(2436304\pi^2 - 2172825\pi^4)}{8\times(1303695\pi^4 - 1827228\pi^2 + 537160)} \approx -0.6425216143\\ a_2 = \frac{1303695\pi^4}{16\times(1303695\pi^4 - 1827228\pi^2 + 537160)} \approx 0.07248725712$$

The fundamental frequency has amplitude $\frac{1080430592}{1303695\pi^6 - 1827228\pi^4 + 537160\pi^2} \approx 0.9997773320.$ The 3rd, 5th, and 9th harmonics have relative amplitude $\frac{7}{263777} \approx -91.52\text{ dB},$ and the 7th harmonic has relative amplitude $\frac{726083}{31033100273} \approx -92.6\text{ dB}$ compared to the fundamental. A $k\text{th}$ harmonic has relative amplitude $\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|67145k^4 - 2740842k^2 + 19555425\right|}{33763456k^6}.$

This approximation has a slight corner at the half-cycle boundaries, because the polynomial has zero derivative not at $x = \pm 1$ but at $x \approx \pm 1.002039940.$ At $x = 1$ the value of the derivative is about $0.004905799828$. This results in slower asymptotic decay of the amplitudes of the harmonics at large $k,$ compared to the 5th order approximation that has a continuous derivative.

7th order

A 7th order approximation without continuous derivative can be found similarly. The approach requires testing 120 different solutions and was automated by the Python script at the end of this answer. The best solution is:

$$f(x) = a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 + a_3 x^7\\ a_0 = 1 - a_1 - a_2 - a_3 \approx 1.5707953785726114835\\ a_1 = - \frac{5\times(4374085272375\pi^6 - 6856418226992\pi^4 + 2139059216768\pi^2)}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx -0.64590724797262922190\\ a_2 = \frac{2624451163425\pi^6 - 3428209113496\pi^4}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx 0.079473610232926783079\\ a_3 = -\frac{124973864925\pi^6}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx -0.0043617408329090447344$$

The fundamental frequency has amplitude $\frac{16991801282396160}{2124555703725\pi^8 - 3428209113496\pi^6 + 1336912010480\pi^4 - 155807094720\pi^2} \approx 1.0000024810802368487.$ The largest relative amplitude of the harmonics above the fundamental is $\frac{50}{2400688077}\approx -133.627\text{ dB}.$ compared to the fundamental. A $k\text{th}$ harmonic has relative amplitude $\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|-162299057k^6 + 16711400131k^4 - 428526139187*k^2 + 2624451163425\right|}{4424948250624k^8}.$

Python source

from sympy import symbols, pi, solve, factor, binomial

numEq = 3 # Number of equations
numHarmonics = 6 # Number of harmonics to evaluate

a1, a2, a3, k = symbols("a1, a2, a3, k")
coefficients = [a1, a2, a3]
harmonicRelativeAmplitude = (2*pi**4*a1*k**4*(pi**2*k**2-12)+4*pi**2*a2*k**2*(pi**4*k**4-60*pi**2*k**2+480)+6*a3*(pi**6*k**6-140*pi**4*k**4+6720*pi**2*k**2-53760)+pi**6*k**6)*(1-(-1)**k)/(2*k**8*(2*pi**4*a1*(pi**2-12)+4*pi**2*a2*(pi**4-60*pi**2+480)+6*a3*(pi**6-140*pi**4+6720*pi**2-53760)+pi**6))

harmonicRelativeAmplitudes = []
for i in range(0, numHarmonics) :
    harmonicRelativeAmplitudes.append(harmonicRelativeAmplitude.subs(k, 3 + 2*i))

numCandidateEqs = 2**numHarmonics
numSignCombinations = 2**numEq
useHarmonics = range(numEq + 1)

bestSolution = []
bestRelativeAmplitude = 1
bestUnevaluatedRelativeAmplitude = 1
numSolutions = binomial(numHarmonics, numEq + 1)*2**numEq
solutionIndex = 0

for i in range(0, numCandidateEqs) :
    temp = i
    candidateNumHarmonics = 0
    j = 0
    while (temp) :
        if (temp & 1) :
            if candidateNumHarmonics < numEq + 1 :
                useHarmonics[candidateNumHarmonics] = j
            candidateNumHarmonics += 1
        temp >>= 1
        j += 1
    if (candidateNumHarmonics == numEq + 1) :
        for j in range(0,  numSignCombinations) :
            eqs = []
            temp = j
            for n in range(0, numEq) :
                if temp & 1 :
                    eqs.append(harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[0]] - harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[1+n]])
                else :
                    eqs.append(harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[0]] + harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[1+n]])
                temp >>= 1
            solution = solve(eqs, coefficients, manual=True)
            solutionIndex += 1
            print "Candidate solution %d of %d" % (solutionIndex, numSolutions)
            print solution
            solutionRelativeAmplitude = harmonicRelativeAmplitude
            for n in range(0, numEq) :                
                solutionRelativeAmplitude = solutionRelativeAmplitude.subs(coefficients[n], solution[0][n])
            solutionRelativeAmplitude = factor(solutionRelativeAmplitude)
            print solutionRelativeAmplitude
            solutionWorstRelativeAmplitude = 0
            for n in range(0, numHarmonics) :
                solutionEvaluatedRelativeAmplitude = abs(factor(solutionRelativeAmplitude.subs(k, 3 + 2*n)))
                if (solutionEvaluatedRelativeAmplitude > solutionWorstRelativeAmplitude) :
                    solutionWorstRelativeAmplitude = solutionEvaluatedRelativeAmplitude
            print solutionWorstRelativeAmplitude
            if (solutionWorstRelativeAmplitude < bestRelativeAmplitude) :
                bestRelativeAmplitude = solutionWorstRelativeAmplitude
                bestUnevaluatedRelativeAmplitude = solutionRelativeAmplitude                
                bestSolution = solution
                print "That is a new best solution!"
            print

print "Best Solution is:"
print bestSolution
print bestUnevaluatedRelativeAmplitude
print bestRelativeAmplitude

Vous le demandez pour des raisons théoriques ou pour une application pratique?

Habituellement, lorsque vous avez une fonction coûteuse à calculer sur une plage finie, la meilleure réponse est un ensemble de tables de recherche.

Une approche consiste à utiliser les paraboles les mieux adaptées:

n = étage (x * N + .5);

d = x * N - n;

i = n + N / 2;

y = L_0 + L_1 [i] * d + L_2 [i] * d * d;

En trouvant la parabole à chaque point qui correspond aux valeurs de d étant -1/2, 0 et 1/2, plutôt que d'utiliser les dérivées à 0, vous garantissez une approximation continue. Vous pouvez également décaler la valeur x, plutôt que l'index du tableau pour gérer vos valeurs x négatives.

Ced

==================================================

Suivre:

La quantité d'efforts et les résultats qui ont permis de trouver de bonnes approximations sont très impressionnants. J'étais curieux de savoir comment ma solution parabolique ennuyeuse et fade se comparerait. Sans surprise, il fait beaucoup mieux. Voici les résultats:

   Méthode Minimum Maximum Mean RMS
  -------- -------- -------- -------- --------
     Puissance -8.48842 1.99861 -4.19436 5.27002
    OP S_3 -2,14675 0,00000 -1,20299 1,40854
     Bhask -1,34370 1,63176 -0,14367 0,97353
     Ratio -0,24337 0,22770 -0,00085 0,16244
     rbj 5 -0.06724 0.15519 -0.00672 0.04195
    Olli5C -0,16367 0,20212 0,01003 0,12668
     Olli5 -0,26698 0,00000 -0,15177 0,16402
    Olli7C -0,00213 0,00000 -0,00129 0,00143
     Olli7 -0,00005 0,00328 0,00149 0,00181
    Para16 -0,00921 0,00916 -0,00017 0,00467
    Para32 -0,00104 0,00104 -0,00001 0,00053
    Para64 -0,00012 0,00012 -0,00000 0,00006

Les valeurs représentent 1000x l'erreur entre l'approximation et la valeur réelle évaluée tous les .0001 sur une échelle de 0 à 1 (inclus), donc 10001 points en tout. L'échelle est convertie pour évaluer les fonctions de 0 à$\pi/2$, à l'exception des équations d'Olli Niemitalo qui utilisent l'échelle 0 à 1. Les valeurs des colonnes doivent être claires dans les en-têtes. Les résultats ne changent pas avec un espacement de 0,001.

La ligne "Power" est l'équation: $x-\frac{x^e}{6}$.

La ligne rbj 5 est la même que la solution c5 de Matt L.

Les 16, 32 et 64 sont le nombre d'intervalles qui ont des ajustements paraboliques. Bien sûr, il y a des discontinuités insignifiantes dans la dérivée première à chaque frontière d'intervalle. Les valeurs de la fonction sont cependant continues. L'augmentation du nombre d'intervalles ne fait qu'augmenter les besoins en mémoire (et le temps d'initialisation), elle n'augmente pas la quantité de calcul nécessaire pour l'approximation, qui est inférieure à toutes les autres équations. J'ai choisi deux puissances car une implémentation en virgule fixe pourrait sauver une division en utilisant un ET dans de tels cas. De plus, je ne voulais pas que le dénombrement soit proportionnel à l'échantillonnage d'essai.

J'ai exécuté le programme python d'Olli Niemitalo et j'ai obtenu ceci dans le cadre de l'impression: "Solution candidate 176 sur 120" Je pensais que c'était étrange, donc je le mentionne.

Si quelqu'un veut que j'inclue l'une des autres équations, veuillez me le faire savoir dans les commentaires.

Voici le code pour les approximations paraboliques par morceaux. L'ensemble du programme de test est trop long pour être publié.

# ================================================= ============================
def FillParab (argArray, argPieceCount):

# y = ad ^ 2 + bd + c

# ym = a .25 - b .5 + c
# y = c
# yp = a .25 + b .5 + c

# c = y
# b = yp - ym
# a = (yp + ym - 2y) * 2

# ---- Calculer les tableaux de recherche

        theStep = pi * .5 / float (argPieceCount - 1)
        theHalf = theStep * .5

        theL0 = zéros (argPieceCount)
        theL1 = zéros (argPieceCount)
        theL2 = zéros (argPieceCount)

        pour k dans la plage (0, argPieceCount):
         x = float (k) * theStep

         ym = sin (x - la moitié)
         y = sin (x)
         yp = sin (x + la moitié)

         theL0 [k] = y
         theL1 [k] = yp - ym
         theL2 [k] = (yp + ym - 2.0 * y) * 2

# ---- Faites le plein

        theN = len (argArray)

        theFactor = pi * .5 / float (theN - 1)

        pour i dans la plage (0, theN):
         x = float (i) * theFactor

         kx = x / theStep
         k = int (kx + 0,5)
         d = kx - k

         argArray [i] = theL0 [k] + (theL1 [k] + theL2 [k] * d) * d

# ================================================= ============================

=======================================

Appendice

J'ai inclus Guest's $S_3$fonction du message d'origine comme "OP S_3" et formule de deux paramètres de l'invité des commentaires comme "Ratio". Les deux sont sur une échelle de 0 à 1. Je ne pense pas que le ratio soit adapté au calcul lors de l'exécution ou à la création d'une table de recherche. Après tout, c'est beaucoup plus de calcul pour le CPU qu'un simple appel sin (). C'est intéressant mathématiquement cependant.