Remplacer «e» dans la formule d'Euler par un autre nombre

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La formule d'Euler reste-t-elle valable si nous utilisons un nombre réel autre que la constante ? Par exemple, remplacer par 5 donnerait la formule suivante: . $e$ $e$ $5^{it}$

J'ai essayé cette idée dans Matlab et remplacé par quelques autres nombres réels (par exemple 1,5, 10, 2,1) et à chaque fois l'intrigue montrait toujours ce qui semblait être des ondes cosinus et sinus. La fréquence du cos et du sin change en fonction de la base. $e$

Voici à peu près mon approche:

w = freq * 2 * pi;
t = 0:0.001:1000 ;

a = real( number ^ (i*wt) ) ; % cos in Euler's formula
b = imag( number ^ (i*wt) ) ; % sin in Euler's formula

— curieuse
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Supposons que vous intéresse Notez que donc peut être écrit comme

\begin{matrix} (1) & M^{j 2 π f_{0} t} . \end{matrix}

$M^{j2\pi f_0 t}. \tag{1}$

M = e^{\log M},

$M = e^{\log M},$

(1)

$(1)$

\begin{aligned} M^{j 2 π f_{0} t} & = {(e^{\log M})}^{j 2 π f_{0} t} \\ = e^{j 2 π (f_{0} \log M) t} \\ = \cos (2 π (f_{0} \log M) t) + j \sin (2 π (f_{0} \log M) t), \end{aligned}

$\begin{align} M^{j2\pi f_0 t} &= \left( e^{\log M} \right) ^ {j2\pi f_0 t} \\ &= e^{j2\pi (f_0\log M) t} \\ &= \cos(2\pi (f_0\log M) t) + j \sin(2\pi (f_0\log M) t), \end{align}$ qui est une sinusoïde complexe avec une fréquence . C'est pourquoi l'utilisation de au lieu de entraîne un changement de fréquence.

f_{0} \log M

$f_0 \log M$

M

$M$

e

$e$

— MBaz
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2

C'est une question intéressante. Voyons quels nombres complexes non nuls ont la propriété qu'ils "agissent comme " dans la formule classique, c'est-à-dire que pour tout complexe . Pour plus de commodité, supposons que nous pouvons écrire $w$ $e$

e^{z} = w^{z}

$e^z = w^z$

z = x + i y

$z=x+iy$

w = r e^{i t}

$w=re^{it}$

Le symbole prend les multiples valeurs possibles $w^z$

w^{z} = e^{z \log w} = e^{(x + i y) (\overset{possible values of \log w}{\overset{⏞}{\ln r + i t + 2 k π i}})} = e^{(x \ln r - y t - 2 k π y) + i (y \ln r + x t + 2 k π x)}

$w^z =e^{z\log w} = e^{(x+iy)(\overbrace{\ln r + it + 2k\pi i}^{\textrm{possible values of $\log w$}})} =e^{(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)}$

Cela signifie que nous aurons lorsque pour certains . Mais cela signifie (en assimilant les parties réelles et imaginaires des deux côtés) Cela ne peut se produire pour tout (c'est-à-dire, tous ) que si et . $e^z=w^z$

(x + y i) - [(x \ln r - y t - 2 k π y) + i (y \ln r + x t + 2 k π x)] = 2 π n i

$(x+yi)-[(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)] = 2\pi n i$

n

$n$

{\begin{cases} x = x \ln r - y t - 2 k π y \\ y = y \ln r + x t + 2 k π x + 2 π n \end{cases}

$\begin{cases}x=x\ln r - yt-2k\pi y\\y=y\ln r + xt +2k\pi x + 2\pi n \end{cases}$

z

$z$

x, y

$x,y$

r = e

$r=e$

t = k = n = 0

$t=k=n=0$

Mais cela signifie , donc il n'y a pas d'autre nombre complexe qui fera l'affaire. $w =e\cdot e^{0i}=e$ $w$

— MPW
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1

Pour tout a, car " " et "ln (x)" sont des "fonctions inverses. Donc . Puis $a= e^{ln(a)}$ $e^x$

a^{i t} = e^{\ln (a^{i t})} = e^{i t \ln (a)}

$a^{it}= e^{\ln(a^{it})}= e^{it \ln(a)}$

a^{i t} = e^{i (t \ln (a))} = \cos (t \ln (a)) + i \sin (t \ln (a)) .

$a^{it}= e^{i (t \ln(a))}= \cos(t \ln(a))+ i \sin(t \ln(a)).$

— HallsofIvy
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Pour positif

a

$a$

— Laurent Duval

@ HallsofIvy: Ce n'est pas tout à fait correct. Même en supposant

a > 0

$a>0$ ,

a^{i t}

$a^{it}$ prend plusieurs valeurs:

{une}^{je t} = e^{je t (\ln une + 2 π k je)} = e^{- 2 π k t + je t \ln une} = e^{- 2 π k t} (\cos (t \ln une) + je péché (t \ln une))

$a^{it}=e^{it(\ln a + 2\pi ki)} = e^{-2\pi kt + it\ln a} = e^{-2\pi kt}(\cos(t\ln a) + i\sin(t\ln a))$ (prise

k = 0

$k=0$ récupère votre valeur spécifique). Si

a

$a$ est négatif, ou pas réel, c'est encore plus compliqué.

— MPW