Quelle est la fréquence normalisée

Je travaille sur DSP et éprouve des difficultés à comprendre le terme fréquence normalisée souvent utilisé avec DFT et DTFT.

Quelle est la fréquence normalisée dans DSP? et en quoi est-elle différente de la fréquence analogique?

Quelle est l'importance de normaliser la fréquence dans le DSP?

Pourquoi la limite de fréquence normalisée est 2π?

Comment la FFT gère la fréquence normalisée?

dft

— user6363
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La fréquence normalisée est la fréquence en unités de cycles / échantillon ou radians / échantillon couramment utilisée comme axe de fréquence pour la représentation des signaux numériques.

Lorsque les unités sont des cycles / échantillon, la fréquence d'échantillonnage est de 1 (1 cycle par échantillon) et le signal numérique unique dans la première zone de Nyquist réside dans une fréquence d'échantillonnage de -0,5 à +0,5 cycle par échantillon. C'est l'équivalent en fréquence de la représentation de l'axe du temps en unités d'échantillons au lieu d'un intervalle de temps réel tel que les secondes.

Lorsque les unités sont en radians / échantillon, le taux d'échantillonnage est $2\pi$ ( $2\pi$ radians par échantillon) et le signal numérique unique dans la première zone de Nyquist provient d'un taux d'échantillonnage de $-\pi$ à $+\pi$ .

Comment cela se produit peut être vu à partir des expressions suivantes:

Pour un signal analogique donné comme

X (t) = péché (2 π F t)

$x(t)=\sin(2\pi F t)$ où F est l'unité de fréquence analogique en Hz,

Lors d'un échantillonnage à une fréquence d'échantillonnage de $F_s$ Hz, l'intervalle d'échantillonnage est $T_s=1/F_s$ donc le signal après avoir été échantillonné est donné comme:

X (n T_{s}) = péché (2 π F n T_{s}) = péché (\frac{2 π F}{F_{s}} n)

$x(nT_s)=\sin(2\pi F nT_s) = \sin\left(\frac{2\pi F}{F_s}n\right)$

Lorsque les unités de fréquence normalisée, soit $\frac{F}{F_s}$ en cycles / échantillon ou $\frac{2\pi F}{F_s}$ en radians / échantillon est clairement indiqué.

Ceci est illustré ci-dessous en utilisant $\Omega = 2\pi F$

Mise à jour: Comme le souligne @ Fat32 dans les commentaires, les unités de taux d'échantillonnage $F_s$ dans la figure ci-dessous doit être "échantillons / sec" afin que la fréquence normalisée devienne radians / échantillon.

Pour voir visuellement le concept de "radians / échantillon" (et la plupart des autres concepts DSP traitant de la fréquence et du temps), cela m'a beaucoup aidé à m'éloigner de la visualisation des tonalités de fréquence individuelles comme des sinus et / ou des cosinus et à les voir plutôt comme des phaseurs tournants ( $e^{j\omega t} = 1 \angle (\omega t)$ ), comme illustré dans le graphique ci-dessous, qui montre un phaseur complexe tournant à une fréquence de 2 Hz et ses cosinus et sinus associés (étant l'axe réel et imaginaire). Chaque point dans un DFT est une tonalité de fréquence individuelle représentée comme un seul phaseur rotatif dans le temps. Une telle tonalité dans un système analogique tournerait en continu (dans le sens antihoraire si une fréquence positive et dans le sens horaire si une fréquence négative) à F rotations par seconde où F est la fréquence en Hz, ou cycles / seconde. Une fois échantillonné, la rotation sera au même taux mais sera dans des échantillons discrets où chaque échantillon est un angle constant en radians, et donc la fréquence peut être quantifiée en radians / échantillon représentant le taux de rotation du phaseur.

— Dan Boschen
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J'étais à mi-chemin de mon café! Erreur complète, corrigée maintenant

— Dan Boschen

La FFT utilise généralement une autre unité pour l'axe des fréquences, appelée Index des fréquences, qui va de 0 à N-1, où N est le nombre d'échantillons utilisés dans la FFT. Cela correspond à la fréquence normalisée en assimilant N à 1 cycle / échantillon. Ainsi, si vous divisez la fréquence FFT par N, vous obtenez la fréquence normalisée en cycles / échantillon. Par exemple, si j'ai 10 échantillons dans la FFT dans un système échantillonné à 100 Hz, les intervalles de fréquence dans le résultat de la FFT passeront de 0, 10, 20 ... 90 Hz. N-1 = 9 et 100 Hz représente 1 échantillon par cycle. J'espère que cela a aidé.

— Dan Boschen

Oui je vois - le taux d'échantillonnage doit être donné en unités de "Samples per Second" pour que cela fonctionne, bon point @ Fat32! Les unités cohérentes sont importantes.

— Dan Boschen

@ user6363 La fréquence d'échantillonnage est de 1 cycle / échantillon signifie que lorsque vous utilisez la fréquence normalisée, quelle que soit la fréquence d'échantillonnage devient 1 (cycle par échantillon), par exemple si la fréquence d'échantillonnage est de 100 MHz, puis 100 MHz correspond à 1 et une tonalité à 25 MHz par exemple correspondrait à 0,25 (cycles / échantillon). Lorsque les unités sont en radians / échantillon, le taux d'échantillonnage de 100 MHz correspondrait à

2 π

$2\pi$ et la tonalité à 25 MHz correspondrait à

0.5 π

$0.5\pi$ . Dans mon exemple, la forme d'onde s'étend dans la bande passante à partir de + 6π / 20 sur une échelle normalisée radians / échantillon. Si le taux d'échantillonnage était de 100 MHz, alors ce serait +/- 3/20 * 100 MHz = +/- 15 MHz

— Dan Boschen

Non, j'ai dit que le bac 9 est à 90 Hz et c'est correct. Il est également exact que bin [9] est de -10 Hz. Regardez les graphiques de fréquence affichés par i et Fat32 et vous pouvez voir que les fréquences de 0 à F sont les mêmes que 0 à Fs / 2 et -Fs / 2 à 0! Donc, pour une FFT 10 pt dans un système à 100 Hz, les fréquences sont à la fois 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 ET également 0, 10, 20, 30, 40, 50, - 40, -30, -20, -10! Découvrez FFTSHIFT dans Matlab car il fait cette traduction. Si cela prête toujours à confusion, ce serait une bonne question différente à poser (ou à rechercher si elle a déjà été répondue)

— Dan Boschen

La figure suivante montre également une vue graphique simplifiée de la procédure de normalisation de fréquence à la suite de l'échantillonnage d'un signal en temps continu

— Fat32
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