Capacité du canal AWGN

Je ne comprends pas bien les concepts de base de la communication sur les canaux AWGN. Je sais que la capacité d'un canal AWGN à temps discret est: et elle est atteinte lorsque le signal d'entrée est gaussien Distribution. Mais, qu'est-ce que cela signifie que le signal d'entrée est gaussien? Cela signifie-t-il que l'amplitude de chaque symbole d'un mot de code doit être tirée d'un ensemble gaussien? Quelle est la différence entre l'utilisation d'un livre de codes spécial (dans ce cas gaussien) et la modulation du signal avec une signalisation M-aire, par exemple MPSK?

$$C=\frac{1}{2}\log_2\left(1+\frac{S}{N}\right)$$

En supposant un canal dont l'entrée à chaque instant est une variable aléatoire continue $X$ et sa sortie est $Y=X+Z$, où $Z\sim\mathcal{N}(0,N)$ et $Z$ est indépendant de $X$, puis

$$C_{\text{CI-AWGN}}=\frac{1}{2}\log_2\left(1+\frac{P}{N}\right)$$ est la capacité du canal d' entrée continue sous la contrainte de puissance $$\mathsf{E}X^2\le P$$ L'information mutuelle $I(X;Y)$ est maximisé (et est égal à $C_{\text{CI-AWGN}}$) quand $X\sim\mathcal{N}(0,P)$.

Cela signifie que si $X$est une variable aléatoire gaussienne continue avec la variance donnée, alors la sortie a l'information mutuelle la plus élevée possible avec l'entrée. C'est ça!

Lorsque la variable d'entrée $X$est discrétisé (quantifié), une nouvelle formulation est nécessaire. En effet, les choses peuvent facilement devenir difficiles. Pour le voir un peu, on peut considérer le cas simple d'une discrétisation très grossière de$X$où il ne peut avoir que deux valeurs. Supposons donc que$X$ est sélectionné dans un alphabet binaire, par exemple laissez $X\in\{\pm1\}$(ou une version mise à l'échelle pour satisfaire une contrainte de puissance). En termes de modulation, il est identique au BPSK.

Il s'avère que la capacité (même dans ce cas simple) n'a pas de forme fermée. Je rapporte de "Modern Coding Theory" de Richardson et Urbanke:

$$\begin{align}C&_{\text{BI-AWGN}}=1+\\&\frac{1}{\ln(2)} \left(\left(\frac{2}{N}-1\right)\mathcal{Q}\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\right)-\sqrt{\frac{2}{\pi N}}e^{-\frac{1}{2N}}+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^i}{i(i+1)}e^{\frac{2i(i+1)}{N}}\mathcal{Q}\left(\frac{1+2i}{\sqrt{N}}\right)\right)\end{align}$$ Une comparaison entre les deux cas peut être vue dans la figure ci-dessous:

La formule de capacité

$$C = 0.5 \log (1+\frac{S}{N}) \tag{1}$$ est pour un canal temporel discret.

En supposant que vous disposez d'une séquence de données $\left\lbrace a_n \right\rbrace$ pour envoyer, vous avez besoin d'un ensemble de formes d'ondes orthonormées $\left\lbrace \phi_n(t) \right\rbrace$pour la modulation. En modulation linéaire, à qui appartient la modulation M-aire,$\phi_n(t) = \phi(t - nT)$ où $T$ est la durée du symbole et $\phi(t)$ est une forme d'onde prototype de sorte que le signal TX à temps continu en bande de base devient

$$x(t) = \sum_n a_n \phi(t-nT) \tag{2}$$

Les modulations typiques utilisent le cas spécial $\left\lbrace \phi_n(t) \right\rbrace$satisfait le critère de Nyquist ISI avec un filtre adapté pour récupérer$a_n$. Un bien connu$\phi(t)$est le cosinus surélevé de la racine .

Le canal AWGN continu est un modèle qui

$$y(t) = x(t) + n(t) \tag{3}$$

où $n(t)$ est un processus stochastique blanc gaussien.

De (2), nous pouvons voir que $a_n$ est la projection de $x(t)$ sur $\left\lbrace \phi_n(t) \right\rbrace$. Faites la même chose avec$n(t)$, les projections de $n(t)$ sur un ensemble orthonormé est une séquence de variables aléatoires gaussiennes iid $w_n = \langle n(t),\phi_n(t) \rangle$ (Je pense vraiment que $n(t)$est défini à partir de ses projections); et appeler$y_n = \langle y(t),\phi_n(t) \rangle$. Voilà, nous avons un modèle de temps discret équivalent

$$y_n = a_n + w_n \tag{4}$$

La formule (1) est indiquée pour $S$ et $N$ sont l'énergie (variance si $a_n$ et $w_n$ sont zéro moyenne) de $a_n$ et $w_n$, respectivement. Si$a_n$ et $w_n$ sont gaussiennes, $y_n$et la capacité est maximisée. (Je peux ajouter une simple preuve si vous le souhaitez).

qu'est-ce que cela signifie que le signal d'entrée est gaussien? Cela signifie-t-il que l'amplitude de chaque symbole d'un mot de code doit être tirée d'un ensemble gaussien?

Cela signifie des variables aléatoires $a_n$ sont gaussiens.

Quelle est la différence entre l'utilisation d'un livre de codes spécial (dans ce cas gaussien) et la modulation du signal avec une signalisation M-aire, par exemple MPSK?

La forme d'onde $\phi_n(t)$ l'ensemble doit être orthonormé, ce qui est vrai pour M-PSK, de sorte que $w_n$ est iid gaussien.

Mettre à jour cependant$a_n$est quantifié donc en général, il n'est plus gaussien. Il existe des recherches sur ce sujet, telles que l'utilisation du codage gaussien sur réseau (lien) .

Dire que le signal d'entrée a une distribution gaussienne signifie qu'il est distribué comme une variable aléatoire gaussienne. En pratique, on s'appuie sur le codage sur plusieurs instances du canal (dans le temps) au lieu de s'appuyer sur une distribution d'entrée gaussienne. Il y a une belle théorie pleine de preuves qui dépasse le cadre de cette réponse (Théorie de l'information). Les codes de contrôle d'erreur (ou codes de canal) reposent généralement sur l'utilisation de modulations QAM / PSK familières, mais grâce à la redondance du code et à l'utilisation de plusieurs canaux, ils peuvent approcher (mais pas tout à fait atteindre) la capacité du canal. Un croquis du raisonnement (sans tous les détails) est fourni ci-dessous.

La définition de la capacité du canal est

$$C = \sup_{p_X(x)} I(X; Y)$$ où $X$ peut être vaguement appelé votre variable aléatoire d'entrée, et $Y$ peut être vaguement appelé votre variable aléatoire de sortie, et $I(\cdot,\cdot)$est l' information mutuelle de$X$ et $Y$. Cette définition nous oblige à rechercher toutes les distributions possibles de l'entrée$p_X(x)$pour les distributions qui maximisent les informations mutuelles. Le canal AWGN discret a une relation entrée / sortie définie comme $$Y = X + Z$$ où $Z$ est une moyenne gaussienne nulle avec variance $\sigma_Z^2$ (remarquerez que $\sigma_Z^2=N$ et $\sigma_X^2=S$dans votre notation). Je n'ai pas le temps de fournir tous les détails pour le moment. Cependant, tout livre sur la théorie de l'information peut vous guider à travers la preuve qui montre que si$X$ est distribué comme un gaussien puis $I(X;Y)$ (l'information mutuelle de $X$ et $Y$) est maximisé. Par exemple, voir Elements of Information Theory par Thomas Cover. Si vous ne l'avez pas encore lu, le traité original de Shannon Une théorie mathématique de la communication est une lecture intéressante avec un raisonnement clair tout au long.