Interprétation de la densité spectrale de puissance Doppler de Clarke

Ce que je comprends de la propagation Doppler, c'est que le mouvement relatif entre l'émetteur (TX) et le récepteur (RX) modifie le temps d'exposition du signal. Par rapport à un TX-RX à distance constante, un déplacement l'un vers l'autre du TX-RX "comprime" le signal dans le temps (le signal met moins de temps à se propager), puis le signal est "étendu" dans le domaine fréquentiel. De même, un RX-TX qui s'éloigne "étend" le signal dans le temps et "comprime" son spectre. En bref, cela met à l'échelle la transformée de Fourier. Ces deux cas extrêmes fixent les limites gauche et droite de l'étalement d'une fréquence d'origine entre et où est l'étalement Doppler max. $-f_d$ $+f_d$ $f_d$

En regardant le modèle de Clarke, il s'agit simplement d'un modèle de propagation multiple avec un environnement de diffusion riche et un angle d'arrivée égal. (lien pour plus de détails modèle Clarke )

Si je comprends bien, il y a deux hypothèses qui sont raisonnables en milieu urbain:

Rayleigh décoloration
angle d'arrivée égal ou sensibilité du récepteur égale

J'ai suivi les maths de l'article original, ça semble ok. Le spectre de puissance Doppler final est alors $\displaystyle S(f) = \frac{1}{\pi f_d \sqrt{1 - \left(\frac{f}{f_d}\right)^2}}$

Ce que je ne comprends pas, c'est la raison $-f_d$ $f_d$ pour laquelle l'énergie est concentrée aux deux fréquences d'étalement extrêmes et alors que les angles d'arrivée sont uniformes. Y a-t-il une interprétation physique? Que manque-t-il au célèbre modèle Clarke? Personnellement, ce modèle semble bien modéliser l'environnement urbain typique.

RH Clarke, A Statistical Theory of Mobile-Radio Reception , The Bell System Technical Journal, juillet / août 1968, p. 957ff

Réponses Bien que la réponse de Carlos capture la partie mathématique la plus fondamentale, la vraie réponse est dans son commentaire sur la "cartographie entre l'angle et la fréquence". De plus, la réponse de Maximilien est également intéressante.

power-spectral-density doppler

— AlexTP
source

Compte tenu d'une vitesse constante et sans trajets multiples, vous vous attendez à un décalage de fréquence constant pour Doppler.

— Dan Boschen

Merci Dan, c'est correct. Mais ce n'est pas pour ça que je demande de l'aide.

— AlexTP

Désolé d'avoir mal compris votre question; Je pense que Carlos y a répondu ci-dessous, mais qu'espériez-vous voir pour l'énergie autre que l'intrigue que vous montrez?

— Dan Boschen

Oui, Carlos a répondu à ma question, mais dans son commentaire. C'est la cartographie entre l'angle d'arrivée et la fréquence .

θ

$\theta$

f

$f$

— AlexTP

Réponses:

Une façon simple et "non technique" de penser à cela est le fait que la fréquence Doppler est proportionnelle à . Les amplitudes du cosinus, cependant, ne sont pas uniformément distribuées, mais sont fortement pondérées vers . $\cos\theta$ $\pm 1$

Exemple de tracé à démontrer, en utilisant le code Python / Pylab:

theta = linspace(0, 2*pi, 1001)
x = cos(theta)
hist(x)

Plus de rigueur peut être observée en notant que et la puissance reçue sous n'importe quel angle est proportionnelle à un petit incrément d'angle :

\begin{aligned} f & = f_{d} \cos θ \\ θ & = \cos^{- 1} (\frac{f}{f_{d}}) \end{aligned}

$\begin{align} f &= f_d \cos\theta\\ \theta &= \cos^{-1}\left(\frac{f}{f_d}\right) \end{align}$

d θ

$d\theta$

P (θ) \propto d θ = \frac{- 1}{f_{d} \sqrt{1 - {(\frac{f}{f_{d}})}^{2}}} d f

$P(\theta) \propto d\theta = \frac{-1}{f_d\sqrt{1-\left(\frac{f}{f_d}\right)^2}} df$

Et la puissance totale peut être déterminée en intégrant la quantité ci-dessus, qui est à l'identique ce qui définit une densité spectrale de puissance.

— Robert L.
source

Je vous remercie. Le calcul est clair, mais ne répond pas à ma question. Ma question est quelle est l'interprétation physique de cette distribution cos, ou comment la LoS et la réflexion à 180 ° captent physiquement la plupart de l'énergie.

— AlexTP

Les réflexions LoS et 180 degrés ne captent pas le plus d'énergie - ce qui n'est pas revendiqué par le modèle. Cela ne semble être le cas que parce que l'intrigue avec les singularités est en fonction de la fréquence, pas de l'angle. La cartographie non linéaire entre fréquence et angle est la raison pour laquelle les singularités apparaissent.

— Robert L.

Merci encore, c'est ce que je veux demander, le "mapping non linéaire". Êtes-vous d'accord que je peux dire, dans une autre langue, si nous prenons la même quantité de bande passante à intégrer, plus les extrémités du spectre Doppler sont proches de cette bande, plus l'angle nous important, et c'est le raison pour laquelle nous avons plus de pouvoir aux extrémités?

Δ f

$\Delta f$

d Θ

$d\Theta$

— AlexTP

En plus de la réponse de Carlos, je veux corriger votre compréhension générale:

Ce que je comprends de la propagation Doppler, c'est que le mouvement relatif entre l'émetteur (TX) et le récepteur (RX) modifie le temps d'exposition du signal. Par rapport à un TX-RX à distance constante, un déplacement l'un vers l'autre du TX-RX "comprime" le signal dans le temps (le signal met moins de temps à se propager), puis le signal est "étendu" dans le domaine fréquentiel. De même, un RX-TX qui s'éloigne "étend" le signal dans le temps et "comprime" son spectre. En bref, cela met à l' échelle la transformée de Fourier .

Votre compréhension est correcte au sens large. Cependant, le modèle de Clarke se réfère à la situation de bande étroite, où la propagation Doppler est donnée par . Dans une situation à large bande, vous n'avez pas de fréquence porteuse. Dans le modèle Clarkes, vous supposez que la largeur de bande du signal est beaucoup plus petite que et que le signal est concentré dans . Dans le modèle de Clarke, chaque fréquence subit le même décalage, c'est-à-dire X_ {out} (f) = X_ {in} (f-df), où est le décalage instantané, sont les transformées de Fourier du signal émis et reçu. Ceci est approximativement correct, tant que $f_d=f_c \frac{v}{c}$ $\Delta f$ $f_c$ $f_c\pm\frac{\Delta f}{2}$ $df$ $X_{in},X_{out}$ $\Delta f<<f_c$ . Dans votre modèle large bande, chaque fréquence subit un décalage proportionnel à la fréquence, c'est-à-dire avec . $X_{out}(f)=X_{in}(\alpha f)$ $\alpha=\frac{v}{c}$

EDIT: Permettez-moi d'expliquer un peu plus en termes mathématiques:

En général, étant donné une onde sinusoïdale de fréquence qui est envoyée à un récepteur, où TX et RX ont une vitesse relative de , l'onde sinusoïdale est reçue avec une fréquence (signe selon la direction du mouvement). $f$ $v$ $f(1\pm-\frac{v}{c})$

L'hypothèse de bande étroite dit maintenant qu'un signal de transmission est situé autour d'une fréquence porteuse où est la largeur de bande du signal (j'utilise comme largeur de bande pour la simplicité de la notation). Supposons maintenant qu'une onde sinusoïdale de fréquence soit transmise. Ainsi, l'onde sinusoïdale reçue a une fréquence où provient l'approximation $f_c\pm\Delta f$ $2\Delta f<<f_c$ $2\Delta f$ $f_c-\Delta f$

f_{o u t} = f_{i n} (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} (1 - \frac{v}{c}) - Δ f (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} - Δ f - f_{c} \frac{v}{c} - Δ_{f} \frac{v}{c} \approx f_{i n} - f_{c} \frac{v}{c}

$f_{out}=f_{in}\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c\left(1-\frac{v}{c}\right)-\Delta f\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c-\Delta f - f_c\frac{v}{c} - \Delta_f\frac{v}{c}\approx f_{in}-f_c\frac{v}{c}$

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$ . Comme vous le voyez, le décalage de la fréquence ne dépend pas de la fréquence réelle par rapport à la fréquence porteuse. C'est l'hypothèse de la bande étroite.

Je ne veux pas dire que l'effet d'étalement Doppler ne change pas la bande passante d'un signal. En fait, il propage un signal par . Cependant, la distinction importante que je veux souligner est qu'en bande étroite, vous pouvez supposer que toutes les fréquences subissent le même décalage, tandis qu'en bande large, le décalage dépend de la fréquence réelle. Le modèle de Clarke est valable pour le cas de la bande étroite, car il décrit la distribution du décalage de fréquence, lorsqu'une onde sinusoïdale de n'importe quelle fréquence (dans la bande passante) est envoyée dans le système. $f_D=f_c\frac{v}{c}$

— Maximilian Matthé
source

Merci. Mais je ne comprends pas. En quoi ces cas à large bande et à bande étroite sont-ils différents? Puis-je dire dans le cas de bande étroite et le car ?. Permettez-moi d'exprimer mon opinion d'une autre manière, vous me dites que la propagation Doppler ne change pas la bande passante du signal? Mon avis est que la bande doit être étendue, mais l'expansion n'est pas significative en raison de la nature (ou de la condition) de la bande étroite .

X_{o u t} (f_{1}) = X_{i n} (α f_{1}), X_{o u t} (f_{2}) = X_{i n} (α f_{2})

$X_{out}(f_1) = X_{in}(\alpha f_1), X_{out}(f_2) = X_{in}(\alpha f_2)$

f_{1} - f_{2} \approx α (f_{1} - f_{2})

$f_1 - f_2 \approx \alpha (f_1 - f_2)$

a b s (f_{1} - f_{2}) << 1

$abs(f_1 - f_2) << 1$

Δ f

$\Delta f$

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$

— AlexTP

@AlexTP J'ai ajouté quelques maths. dérivation, peut-être que cela le rend plus clair?

— Maximilian Matthé

Merci. Je comprends ce que tu veux dire maintenant. En effet, nous avons raconté la même histoire parce que est toujours une opération de mise à l'échelle, mais l'approximation des points au décalage de fréquence constant est très intéressante. Pourriez-vous s'il vous plaît développer "le modèle de Clarke vaut pour le cas de la bande étroite, car il décrit la distribution du décalage de fréquence"? Je comprends que sans hypothèse de bande étroite, la formule du spectre Doppler n'est pas celle que j'ai citée.

f_{o u t} = f_{i n} (1 - \frac{v}{c})

$f_{out} = f_{in}(1-\frac{v}{c})$

— AlexTP

Ce que je veux savoir, c'est que si la prise en charge du spectre Doppler dépend de l'hypothèse de bande étroite. Parce que j'ai compris que pour une fréquence donnée, chaque angle d'arrivée crée un . Le LoS et le chemin de réflexion à 180 degrés créent deux extrémités du spectre Doppler, et le support devrait être indépendant de la nature du signal transmis. Ce qui va changer, c'est seulement le spectre de puissance lui-même.

θ

$\theta$

f_{o u t} (θ)

$f_{out}(\theta)$

— AlexTP

Chaque angle d'arrivée crée un décalage de fréquence différent , c'est-à-dire . À d'autres égards, je pense que vous pouvez comprendre le spectre Doppler comme une fonction de densité de probabilité du décalage Doppler expérimenté, lorsque l'angle d'arrivée est également distribué. C'est-à-dire qu'il est très probable que le décalage est , mais peu probable que le décalage soit .

f (θ)

$f(\theta)$

f_{o u t} = f_{i n} + f (θ)

$f_{out}=f_{in}+f(\theta)$

\pm f_{D}

$\pm f_D$

0

$0$

— Maximilian Matthé