Pourquoi ce motif Moiré ressemble à ça?

Je faisais des gifs de transformations Mobius dans Matlab, et des motifs étranges ont commencé à apparaître. Je ne sais pas si une connaissance plus approfondie du type de fichier / algorithme est nécessaire pour comprendre ce phénomène, mais j'ai pensé qu'il pourrait peut-être y avoir une explication purement mathématique. L'image est obtenue en colorant le plan complexe comme un damier, puis en l'inversant en prenant l'inverse du conjugué complexe. Voici le pseudo-code mathématique de l'image avec un zoom donné : $k$

\begin{aligned} checkerboard : C \to {black, white} \\ checkerboard (z) := {\begin{cases} black & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 0 \mod 2 \\ white & if ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 1 \mod 2 \end{cases} \\ image = {z \in C : | ℜ (z) |, | ℑ (z) | \leq 1} \\ color : image \to {black, white} \\ color (z) := checkerboard (k / \bar{z}) \end{aligned}

$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$

Et voici les images pour , et . La résolution de chaque image est de . Je n'ai aucune formation en traitement du signal, mais je serais impatient d'apprendre des choses! $k=1$ $k=50$ $k=200$ $1000\times 1000$

ÉDITER:

Plus précisément, pourquoi le motif Moiré se synchronise-t-il avec la résolution de l'image à certains points?
Peut-on prédire le schéma de Moiré?

image-processing aliasing pattern

— BH
source

Ce que vous voyez est un alias. Vous essayez de représenter une image avec des composants de fréquence plus élevée que votre moniteur ne le permet, vous obtenez donc des alias. en.wikipedia.org/wiki/Moiré_pattern

— MBaz

MBaz, je cherche une explication mathématique de la raison pour laquelle le modèle d'aliasing ressemble à ça!

— BH

Oui, le schéma de Moiré est prévisible. Connaissez-vous la transformée de Fourier?

— Marcus Müller

Pas assez pour l'utiliser dans cette situation!

— BH

Je dois me coucher maintenant, j'espère que l'explication grossièrement mathématique ci-dessous vous aidera - sur la base de la supposition qu'une personne ayant la cardinalité d'un ensemble infini dénombrable pourrait plus ou moins être intéressée par une vue plutôt abstraite que par une explication fonctionnellement analytique.

— Marcus Müller

Vous devrez comprendre le théorème d'échantillonnage . En bref, chaque signal a ce que nous appelons un spectre ¹, qui est la transformée de Fourier du signal tel qu'il vient dans le domaine temporel (s'il s'agit d'un signal temporel), ou le domaine spatial (s'il s'agit d'une image. Depuis la transformée de Fourier est bijectif, un signal et sa transformée sont équivalents, en fait, on peut souvent interpréter la transformée de Fourier comme un changement de base. Nous appelons cela "conversion en domaine de fréquence", car les valeurs de la transformée de Fourier pour les ordonnées basses décrivent les choses qui changent lentement dans le signal d'origine (temporel ou spatial), tandis que le contenu haute fréquence est représenté par des valeurs de transformée de Fourier avec une position élevée.

Généralement, ces spectres peuvent avoir un certain support ; le support est l'intervalle minimal en dehors duquel le spectre est égal à 0.

Si vous utilisez maintenant un système d'observation dont la capacité à reproduire des fréquences est limitée à un intervalle plus petit que ledit support (qui est souvent infini, soit dit en passant, et toujours infini pour les signaux qui ont une extension finie dans le temps ou l'espace), vous ne peut pas représenter le signal d'origine avec ce système.

Dans ce cas, votre image a une certaine résolution - qui est, en fin de compte, le fait que vous évaluez la valeur de votre fonction à des points discrets dans un espacement fixe et non infinitésimal. L'inverse de cet espacement est le taux d'échantillonnage (spatial).

Ainsi, votre image ne peut pas représenter le signal d'origine - il est simplement mathématiquement impossible que le mappage de la fonction sous-jacente aux pixels soit vraiment équivalent à la fonction d'origine, car nous savons que dans ce cas, la plage totale de fréquences représentable par votre évaluation à des points discrets ("échantillonnage") représente la moitié de la fréquence d'échantillonnage et, par conséquent, quelque chose doit mal tourner avec la partie du spectre de votre signal qui est supérieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage.

$f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$ $n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$ $|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

Prenez les "grandes" structures de votre photo que j'ai peintes en vert:

$>\frac{f_\text{sample}}2$

Donc, oui , vous pouvez prédire les artefacts qui arrivent à un signal 2D lors de l'échantillonnage en comparant sa transformée de Fourier à la bande passante offerte par le taux d'échantillonnage.

¹ cela pourrait être différent du spectre utilisé en algèbre linéaire pour décrire les propriétés propres des opérateurs.

— Marcus Müller
source

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$n$