Comment décomposer un signal en ondes carrées?

Je traite des signaux qui sont une superposition de différentes ondes carrées avec différentes amplitudes et phases. Normalement, on décomposerait un signal en ondes sinusoïdales à l'aide de la transformée de Fourier, mais dans ce cas particulier une décomposition en ondes carrées serait beaucoup plus efficace. Une transformée de Fourier produirait un spectre très compliqué, tandis qu'une décomposition en ondes carrées ne devrait donner que quelques lignes claires.

Je sais qu'une telle décomposition est possible. En fait, je pourrais utiliser n'importe quelle fonction périodique comme base pour la décomposition et cela est mentionné dans de nombreux textes sur le sujet. Mais je n'ai jamais pu trouver de formule ni d'exemple explicite de décomposition en base non sinusoïdale.

Mon approche pour décomposer un signal composé des échantillons , était d'utiliser une formule de type DFT où est une onde carrée de valeur réelle avec une fréquence fois la fréquence de base. Mais ce n'est certainement pas complet, car je n'obtiens aucune information de phase pour les ondes carrées constitutives, et je n'ai pas pu inverser la procédure. $N$ $x_k$

u_{k} = \sum_{n = 0}^{N - 1} X_{n} R_{k} (n)

$u_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \, \mathcal{R}_k(n)$

R_{k}

$\mathcal{R}_k$

k

$k$

Comment décomposer mes signaux en ondes carrées avec une amplitude et une phase bien définies?

— Sentinelle
source

une décomposition sérieuse commencerait par trouver (ou définir) une base de N vecteurs de signaux, qui couvrirait l' espace vectoriel de signaux de votre intérêt. Vous utiliseriez ensuite une mesure de produit interne pour calculer les coefficients de ces décompositions de signaux en termes de vecteurs de base.

— Fat32

Fat32 a raison: vous voulez vous assurer que les signaux qui vous intéressent sont répartis sur l'ensemble des ondes carrées que vous avez choisies. En général, vous souhaiterez également que la base soit orthonormée.

— MBaz

"Mais ce n'est certainement pas complet, car je n'obtiens aucune information de phase pour les ondes carrées constitutives": dans une transformée de Fourier pour une seule fréquence, il faut deux coefficients réels (ou un complexe), le premier est le résultat de la convolution avec un cosinus et le second avec un sinus (qui est juste un

\frac{π}{2}

$\frac{\pi}{2}$ cosinus décalé). Je suppose donc que pour les carrés et pour une période donnée

T

$T$ vous devez également vous décomposer sur

\frac{T}{2}

$\frac{T}{2}$ onde carrée décalée.

— agemO

Ce qui est décrit dans la question est très proche de la transformée en ondelettes discrète (DWT) avec l'utilisation de l' ondelette de Haar .

Le DWT décompose un signal en une somme de fonctions orthogonales dilatées et traduites qui ne doivent pas nécessairement être trigonométriques . Le DWT ne transforme pas un signal du domaine temporel en un domaine fréquentiel mais en un espace d'échelle où la dimension "temps" est préservée. L'ondelette de Haar n'est effectivement qu'une période d'une onde carrée et en raison de sa dilatation et de sa réplication au fur et à mesure de la transformation, elle apparaît comme se produisant à différentes fréquences. Pour plus d'informations sur le lien entre le niveau de décomposition et la fréquence, veuillez consulter ce lien

Une autre transformation qui pourrait être utile ici, est la transformée de Walsh-Hadamard qui fait exactement cela, décompose un signal en une somme de formes d'onde carrées qui sont orthogonales (veuillez également noter la séquence ici).

Pour un bref exemple qui semble être proche de ce que vous recherchez, veuillez consulter ce lien

J'espère que cela t'aides.

— A_A
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Je vote pour Walsh!

— rrogers