Intuition pour les lobes latéraux en FFT

Je me demandais s'il y avait un moyen intuitif de comprendre pourquoi les lobes latéraux apparaissent lors de l'exécution d'une FFT sur un signal de longueur fixe?

J'ai deux explications dans le but de fournir un aperçu intuitif supplémentaire au-delà de l'explication mathématique concise; tout d'abord, une explication de l'expansion de la série de Fourier ainsi que l'idée de répéter la séquence de domaine temporel tronquée qui montre les discontinuités implicites qui en résultent, nécessitant plus de composantes de fréquence à reconstruire qu'il n'en existerait réellement si la forme d'onde n'était pas tronquée. Et deuxièmement, une explication en regardant la DFT comme une banque de filtres pas si grands.

Première explication: extension de la série de Fourier et périodicité

La transformée de Fourier d'une séquence limitée dans le temps est identique à la transformée de Fourier d'une séquence qui est périodique pour toujours.

Cela est vrai pour la transformée de Fourier ainsi que pour la transformée de Fourier discrète et est connue sous le nom de propriété de périodicité de la DFT:

Propriété de périodicité: Étant donné le vecteur DFT à point N X [k], avec un échantillon DFT inverse x [n], avec k et n allant de 0 à N-1; si n se situe en dehors de la plage de 0,1,2 ..., N-1, alors

$x[n] = x[modulo(n,N)]$

De même, étant donné une séquence temporelle à N points x [n], avec un DFT X [k], si k se situe en dehors de la plage de 0, 1,2, ..., N-1, alors

$X[k] = X[modulo(k,N)]$

Pour aider à acquérir une compréhension intuitive, une approche clé est que tout ce qui est échantillonné dans un domaine, devient périodique dans l'autre domaine. De même, tout ce qui est périodique dans un domaine devient échantillonné (valeur discrète) dans l'autre domaine. Ici spécifiquement, "échantillonné" signifie que le signal n'existera que sous forme de valeurs non nulles à des emplacements discrets dans le domaine (flux d'impulsions).

Échantillonnage dans un domaine -> Périodicité dans l'autre domaine : considérez le spectre d'une onde cosinusoïdale analogique de 3 Hz avant et après l'échantillonnage avec un convertisseur A / N. Le spectre numérique peut être considéré comme périodique; une vue cylindrique du spectre numérique est également une vue valide pour expliquer la périodicité, mais je trouve que cette extension au domaine de fréquence analogique (en ayant la fréquence s'étendant à +/- infini) aide certains à obtenir une vue intuitive du traitement du signal impliqué .

Périodicité dans un domaine -> Échantillonnage dans l'autre domaine : considérons l'expansion de la série de Fourier comme un exemple simple démontrant cette propriété. L'expansion de la série de Fourier est effectuée sur un intervalle de domaine temporel fini de 0 à T. Lorsqu'elle est décomposée en composantes de fréquence distinctes, les seules fréquences utilisées sont DC, la fréquence fondamentale 1 / T et les multiples entiers de 1 / T (harmoniques). En effet, comme les fréquences ne peuvent exister qu'à des multiples de 1 / T (et DC), le domaine fréquentiel a été échantillonné.

De plus, si nous reconstruisons la forme d'onde du domaine temporel, en additionnant les composantes de fréquence individuelles, nous pouvons également voir la périodicité implicite dans le domaine temporel si nous permettons aux composantes de fréquence de s'étendre au-delà de l'intervalle 0 à T. C'est à cause de cette périodicité que les composantes de fréquence ne peuvent exister à d'autres fréquences que des multiples de 1 / T (en raison de la condition opposée: si elles existaient, alors elles ne commenceraient pas et ne se termineraient pas systématiquement dans l'intervalle de temps de 0 à T, et donc la périodicité ne peut pas exister).

Il est à espérer que la compréhension de ce qui précède aidera à fournir une explication intuitive des fuites spectrales. Alors maintenant, je vais répéter un point principal:

La transformée de Fourier d'une séquence limitée dans le temps est identique à la transformée de Fourier d'une séquence qui est périodique pour toujours.

Fuite spectrale avec la vue " Expansion de la série Fourier ":

Considérons deux formes d'onde sinusoïdales dans l'intervalle de temps de 0 à T, la première avec un nombre entier de cycles sur l'intervalle de temps, et le second cas avec un nombre non entier de cycles.

Clairement, dans le cas 1, nous pouvons voir avec la vue de répétition que même la répétition de notre sinusoïde pure reste une sinusoïde pure, mais dans le cas 2, notre sinusoïde souffre maintenant de transitions abruptes, et l'utilisation de la vue d'expansion de la série Fourier de la reconstruction, requredifierait plusieurs composantes de fréquence pour reconstruire une telle forme d'onde dans le domaine temporel.

Deuxième explication: vue de la banque de filtres du DFT

Une autre explication intuitive des fuites spectrales (et aide considérablement à comprendre la DFT en général) est ce que j'appelle la vue de la banque de filtres de la DFT. Pour voir cela, considérez un DFT 4 pt simple comme indiqué dans la figure ci-dessous et observez que pour chaque casier, nous faisons effectivement tourner le signal, puis passons les valeurs pivotées à travers un filtre FIR à gain de 4 unités. Pour le premier casier, qui correspond à DC, il n'y a pas de rotation, donc nous additionnons simplement les quatre échantillons, et pour les autres casiers nous tournons progressivement à des fréquences plus élevées au fur et à mesure que nous nous déplaçons à travers les casiers DFT:

(Note latérale - Si nous avons effectué une DFT en streaming, où nous avons calculé une nouvelle DFT à 4 points sur une séquence de 4 points pendant que nous balayions une forme d'onde, ce serait exactement une telle banque de filtres, mais peu importe si nous le faisons ou non, cette La vue donne un bon aperçu des fuites spectrales en plus de la convolution habituelle d'une fonction sinc dans le domaine fréquentiel que l'explication mathématique révèle)

Considérez maintenant la réponse en fréquence pour chaque filtre FIR équivalent, en utilisant les coefficients donnés dans la DFT (par exemple, utilisez freqz ([coeff]) dans Matlab ou Python) comme indiqué dans la figure ci-dessous:

Voici le point principal: puisque chaque filtre dans la construction du DFT est fondamentalement un filtre FIR à gain unitaire , la forme de ce filtre en fréquence se rapproche d'une fonction sinc à mesure que la longueur du DFT s'allonge (et est une fonction sinc aliasée pour petit N). Nous appellerons donc ces filtres sinc et notons qu'un filtre sinc a des lobes latéraux relativement élevés et a une enveloppe qui se déroule très lentement avec la fréquence (à 1 / f pour un sinc pur). Avec les rotateurs de phase dans le DFT, nous déplaçons simplement le lobe principal de ce filtre sinc dans chaque casier d'intérêt, mais les lobes latéraux qui existent pour chaque casier permettent aux fréquences à d'autres endroits de faire apparaître de l'énergie dans ce casier . La quantité de fuite est complètement prédite par ces filtres.

En utilisant cette vue, considérons un signal d'entrée à une seule tonalité avec une fréquence qui se situe quelque part entre deux groupes de fréquences, comme indiqué dans la figure ci-dessous (une entrée qui existe exactement sur n'importe quel groupe aura un nombre entier de cycles dans l'intervalle de domaine temporel et donc PAS de fuite spectrale comme nous l'avons montré précédemment). Le filtre supérieur montre l'amplitude à cet emplacement de fréquence qui "fuira" dans le premier bac. Le deuxième filtre montre l'amplitude (légèrement supérieure), le troisième bin (dont notre fréquence est la plus proche) aura la réponse la plus élevée et le quatrième bin sera plus faible.

SOMMAIRE

J'ai présenté deux explications dans le but de fournir des informations intuitives supplémentairesun aperçu au-delà de l'explication mathématique concise de la multiplication par une fenêtre rectangulaire dans le domaine temporel est la convolution dans le domaine fréquentiel (et la fuite que nous voyons est donc le résultat d'une fonction sinc convolutant en fréquence avec notre forme d'onde d'intérêt que nous avons tronquée dans le temps) ; tout d'abord, une explication de l'expansion de la série de Fourier ainsi que l'idée de répéter la séquence de domaine temporel tronquée qui montre les discontinuités implicites qui en résultent, nécessitant plus de composantes de fréquence à reconstruire qu'il n'en existerait réellement si la forme d'onde n'était pas tronquée. Et deuxièmement, une explication en regardant la DFT comme une banque de filtres, et des filtres médiocres (en particulier des filtres à gain unitaire qui approchent une réponse en fréquence de fonction sinc lorsque N augmente).

Quand tu sors $N$ des échantillons d'une sinusoïde à partir d'un flux d'échantillons de plus grande longueur (car tout ce que vous pouvez faire est de passer $N$échantillons à la FFT), vous appliquez une fenêtre. La fenêtre rectangulaire.

Le fenêtrage est une multiplication dans le domaine temporel. La multiplication dans le domaine temporel correspond à la convolution dans le domaine fréquentiel. Les lobes latéraux que vous voyez sont le résultat de la convolution de la transformée de Fourier de la fonction de fenêtre avec la ligne spectrale unique qui serait la transformée de Fourier de la sinusoïde.

Les vecteurs de base d'un DFT sont tous exactement des nombres entiers périodiques dans la largeur d'ouverture DFT. Si votre signal n'est pas exactement un entier périodique dans votre longueur fixe, il ne peut pas être représenté exactement et complètement par une seule fréquence de vecteurs de base DFT. Si votre signal ressemble à une sinusoïde, il est souvent représenté principalement par un seul bin de fréquence de résultat DFT (plus son image miroir conjuguée complexe pour une entrée strictement réelle), mais comme il peut ne pas s'agir d'une correspondance exacte en fréquence, le reste, non -l'énergie correspondante doit être représentée quelque part pour que le résultat DFT représente complètement le signal. Cette énergie restante va dans les lobes latéraux.

Si vous soustrayez la sinusoïde périodique la mieux adaptée, mais exactement entière, de votre signal, la différence (pourrait ressembler à un mince triangle torsadé ou un nœud papillon, essayez-le) est ce qui est représenté ou décomposé par les lobes latéraux.

La forme des lobes latéraux est un Sinc (ou plus précisément, un noyau périodique de Sinc ou de Dirichlet), car c'est la transformation de la fenêtre rectangulaire que vous obtenez sur n'importe quel signal de longueur finie.

J'apprends très lentement le DSP et j'ai réfléchi à des questions similaires. J'espère qu'une explication très simple qui vous sera utile est:

Chaque bac FFT représente exactement une fréquence spécifique. Donc, pour représenter une fréquence qui ne correspond pas à la fréquence exacte d'un bac, cela doit être entre deux bacs, c'est-à-dire qu'elle sera étalée sur deux bacs.

Lorsque vous pensez au fait qu'une FFT ne peut être appliquée qu'à une partie du signal, il y a généralement une discontinuité à chaque extrémité de la partie du signal à laquelle vous appliquez la FFT. C'est plus difficile à expliquer simplement, mais je suppose que vous pourriez penser que cela oblige les mathématiques à introduire une tonne d'ondes sinusoïdales supplémentaires pour modéliser la discontinuité et que vous polluez plus de bacs (cela répond à la question, le bit suivant sur Windows est un aparté ), afin d'atténuer cela, une fenêtre est utilisée pour lisser la discontinuité à chaque extrémité, mais à l'étendue de la modification du signal.

Quand je dis fréquence, je veux dire onde sinusoïdale d'une fréquence donnée, donc l'analyse de Fourier suppose que vous pensez à votre signal comme une somme d'ondes sinusoïdales.