Comment construire un déphaseur avec un décalage de phase arbitraire

Fred, ingénieur DSP, se rend dans son magasin DSP préféré pour faire du shopping.

Fred: Salut, j'aimerais acheter un déphaseur.

Assistant de magasin: Hmm, qu'est-ce que tu veux dire exactement?

Fred: Eh bien, vous savez, si vous mettez une sinusoïde comme vous obtenez en sortie, pour tout . Et bien sûr, doit être réglable. $x(t)=\sin(\omega_0t)$ $y(t)=\sin(\omega_0t-\theta)$ $\omega_0$ $\theta$

Vendeuse: Oh, je vois. Désolé, non, nous n'en avons pas. Mais je me souviens que d'autres gars avaient besoin de la même chose, et ils achètent toujours un transformateur Hilbert, un couple de multiplicateurs et un additionneur, et ils connectent en quelque sorte toutes ces choses ensemble pour faire un déphaseur réglable.

Fred: Oh oui, c'est ça!

Fred fait semblant de comprendre de quoi parle le gars. Bien sûr, il n'a aucune idée de comment procéder. Il achète tout ce dont le gars a dit qu'il avait besoin et pense par lui-même qu'il pourrait le comprendre à la maison, ou, à défaut de quoi, il pourrait le demander à DSP.SE.

Comment Fred peut-il construire un déphaseur à décalage de phase réglable utilisant les composants qu'il a achetés au magasin? $\theta$

phase hilbert-transform dsp-puzzle

— Matt L.
source

Elle est bonne! Veuillez préciser si la phase doit être la même pour toutes les fréquences (sur une bande donnée) ou si un retard arbitraire constant serait suffisant (pour n'importe quelle fréquence, vous pouvez établir la phase, mais la phase changera linéairement avec la fréquence). Je pense que je connais la réponse pour les deux cas, mais j'attendrai quelques jours pour voir quoi d'autre se présente!

— Dan Boschen

Cette boutique dont vous parlez ... elle est à côté de l'hôtel Hilbert, non?

— M529

Les seuls transformateurs Hilbert décents stockés par les magasins ici semblent avoir ces énormes retards d'entrée-sortie. J'en ai vu des plus rapides dans un catalogue de machines à voyager dans le temps, mais les avis Yelp pour ce fournisseur semblent avoir 0 étoiles.

— hotpaw2

@DanBoschen: Toute entrée sinusoïdale sera décalée de

, quelle que soit sa fréquence. Le retard de phase est donc différent pour chaque fréquence.

θ

$\theta$

— Matt L.

@ hotpaw2: Ignorez simplement ces étoiles et obtenez-en une rapidement avant qu'elles ne soient épuisées!

— Matt L.

Réponses:

Bonne question! Il utilise l'une de mes identités trigonométriques préférées (qui peut également être utilisée pour montrer que la modulation en quadrature est en fait une modulation d'amplitude et de phase simultanée).

La transformée de Hilbert du est . Aussi, (contraint à $\sin(2\pi f_0t)$ $-\cos(2\pi f_0t)$
$\sin (2 π f_{0} t + θ) = a \sin (2 π f_{0} t) + b \cos (2 π f_{0} t)$ $\sin(2\pi f_0t+\theta)=a\sin(2\pi f_0t)+b\cos(2\pi f_0t)$ ), avec . Cela suggère une approche possible. Disons que Fred a besoin de radians. Il calcule le . Ensuite, il doit trouver et tels que et , avec et $a^2+b^2=1$ $\theta=\text{atan2}(b,a)$ $\theta=2.1$ $\tan(2.1)\approx-1.71$ $a$ $b$ $a^2+b^2=1$ $b/a=-1.71$ $a<0$ $b>0$ , qui est un simple problème d'algèbre. Définissez , , $a_0=-1$ $b_0=1.71$ ,et. Ensuite, Fred peut facilement générer un sinus avec la phase souhaitée en utilisant un transformateur de Hilbert, deux multiplicateurs, deux sources CC (l'une réglée survolt et l'autre survolt, pour prendre soin du signe du cosinus), et un additionneur. $n=\sqrt{a_0^2+b_0^2}$ $a=a_0/n$ $b=b_0/n$ $a$ $-b$

La réponse impulsionnelle du système décrit ci-dessus est donnée par:

$a\delta(t)+\frac{b}{\pi t}$

Diagramme:

— MBaz
source

a

$a$

b

$b$

\cos θ

$\cos\theta$

\sin θ

$\sin\theta$

Pour plus de précisions, pourriez-vous ajouter la réponse impulsionnelle et / ou la réponse en fréquence de l'ensemble du système?

— Matt L.

Très bon MBaz, c'est dans la ligne de ce que je pensais - essentiellement un "modulateur vectoriel" qui est un composant acheté à cet effet (comme une seule application). Cependant, le transformateur HIlbert ne peut pas être acheté en tant que véritable composant sans le limiter à une bande limitée (ou je suppose que l'utilisateur peut obtenir un transformateur différent pour chaque bande d'intérêt). Je suis maintenant très intéressé à voir la solution de Matt si elle est différente car c'est tout ce que j'ai pu trouver.

— Dan Boschen

a

$a$

b

$b$

@DanBoschen Ouais, j'ai supposé que le transformateur Hilbert était idéal, ce qui, je pense, est OK pour ce puzzle. Je suis également intéressé à voir la solution alternative de Matt.

— MBaz

La réponse de MBaz est correcte. Je voudrais juste ajouter une autre façon de penser, conduisant bien sûr au même résultat:

$\theta$
$H (ω) = {\begin{cases} e^{- j θ}, & ω > 0 \\ e^{j θ}, & ω < 0 \end{cases}$ $H(\omega)=\begin{cases}e^{-j\theta},&\omega>0\\e^{j\theta},&\omega<0\end{cases}$ $H (ω) = e^{- j θ sign (ω)} = \cos (θ) - j sign (ω) \sin (θ)$ $H(\omega)=e^{-j\theta\text{sign}(\omega)}=\cos(\theta)-j\,\text{sign}(\omega)\sin(\theta)$ $G(\omega)=-j\,\text{sign}(\omega)$ $g(t)=\frac{1}{\pi t}$ $h (t) = \cos (θ) δ (t) + \sin (θ) \frac{1}{π t}$ $h(t)=\cos(\theta)\delta(t)+\sin(\theta)\frac{1}{\pi t}$ $\sin(\theta)$ $\cos(\theta)$

$2N+1$ $N$

— Matt L.
source

Belle explication - l'équivalent dans le domaine fréquentiel de ma solution dans le domaine temporel.

— MBaz

\sin (θ)

$\sin(\theta)$

\cos (θ)

$\cos(\theta)$