Pourquoi les filtres numériques fonctionnent-ils?

Je viens donc de commencer à lire sur les filtres FIR et IIR et je suis étonné par la simplicité de la théorie jusqu'à présent.

• Mais ce qui m'embrouille, c'est pourquoi le filtrage fonctionne-t-il en créant une somme pondérée des échantillons précédents?

• Quelle intuition fait penser que cela peut produire les effets de filtrage souhaités?

• Cela me semble un peu peu intuitif même si n'importe qui peut vérifier que la sommation des signaux retardés ensemble produit un filtrage en peigne. Mais un filtrage souhaitable? Pourquoi?

Considérons un signal d'entrée à temps discret de la forme:

où la fréquence radian est définie entre 0 et radians par échantillon.$\omega_0$$\pi$

Maintenant, considérons deux types de filtres LTI FIR (numériques) à temps discret les plus simples qui sont définis par les opérations arithmétiques fondamentales d' addition et de soustraction de leurs échantillons d'entrée, puis produisant les sorties et selon: et $y_1[n]$$y_2[n]$

Permet d'effectuer une analyse qualitative de ces filtres en définissant la fréquence de leur signal d'entrée sur des valeurs faibles (proches de ) et élevées (proches de ), puis en observant les sorties correspondantes et respectivement;$\omega_0$$0$$\pi$$y_1[n]$$y_2[n]$

Tout d'abord, supposons que est réglé sur les basses fréquences. Les échantillons d'entrée consécutifs et auront alors des valeurs très similaires , car une onde sinusoïdale basse fréquence ne changera pas beaucoup d'un échantillon à l'autre. Si tel est le cas, leur somme sera additionner , alors que leur différence va annuler . Par conséquent, sera approximativement égal à la valeur d'entrée , tandis que la sortie sera proche de zéro en raison de l'annulation. La première partie de l'analyse qualitative conclut que le premier filtre,$\omega_0$$x[n]$$x[n-1]$$y_1[n]$$x[n]$$y_2[n]$$y_1[n]$, passe les signaux basse fréquence tandis que le second filtre, atténue.$y_2[n]$

Supposons pour la deuxième partie de l'analyse que est réglé sur des fréquences élevées ; alors les valeurs des échantillons d'entrée et seront de polarités opposées , car le cosinus changera rapidement d'un échantillon à l'autre. Si tel est le cas, leur somme sera annuler , alors que leur différence va ajouter . Par conséquent, sera approximativement nul, tandis que la sortie sera similaire à son entrée . La deuxième partie de l'analyse conclut que le premier filtre,$\omega_0$$x[n]$$x[n-1]$$y_1[n]$$y_2[n]$$x[n]$$y_1[n]$, arrête les signaux haute fréquence tandis que le deuxième filtre, , les passe.$y_2[n]$

En combinant ces deux analyses qualitatives, nous concluons que le premier filtre est un filtre passe- bas, qui passe les basses fréquences et atténue les hautes fréquences, tandis que le deuxième filtre est un filtre passe- haut, qui atténue les basses fréquences et passe les hautes fréquences.$y_1[n] = 0.5 (x[n]+x[n-1])$$y_2[n] = 0.5(x[n]-x[n-1])$

Dans ce cadre, des filtres plus complexes sont réalisés en utilisant plus d'échantillons provenant de retards plus éloignés qui sont pondérés en conséquence. Les fréquences de coupure de la bande passante et de la bande d'arrêt, la largeur de bande de transition et les ondulations sont toutes déterminées par les poids appliqués dans les échantillons de sommation (ou de différenciation) et le nombre d'échantillons (longueur de filtre) utilisés dans les sommes (ou différences).

Ces poids sont ensuite appelés coefficients de filtre (ou sa réponse impulsionnelle pour le filtre FIR) qui caractérisent le filtre.$h[n]$

Vous avez probablement déjà beaucoup utilisé le filtrage. Une moyenne mobile est un filtre!

Considérez le filtrage général comme une moyenne mobile fantaisiste où, au lieu de faire la moyenne de chaque composant dans une fenêtre, vous pondérez les composants.

Si vous vouliez simplement lisser le signal, vous pourriez pondérer chaque valeur utilisée dans la moyenne par une courbe gaussienne (cloche) par exemple. Il s'agit d'un filtre passe-bas.

Si vous souhaitez isoler une fréquence particulière, vous pouvez pondérer chaque valeur alternativement positive et négative à la même fréquence.

Je pense que vous cherchez une intuition pour savoir pourquoi vous obtenez un certain comportement dans le domaine fréquentiel lorsque vous calculez une somme pondérée d'échantillons d'entrée. Comme vous le savez, le signal de sortie d'un filtre FIR de longueur causale est donné par$N$

où sont les coefficients du filtre (prises), ou, de manière équivalente, la réponse impulsionnelle de longueur finie du filtre, et est le signal d'entrée.$h[n]$$x[n]$

Soit maintenant , c'est-à-dire une exponentielle complexe à la fréquence . Le signal de sortie correspondant est$x[n]=e^{j\omega_0n}$$\omega_0$

où

est la réponse en fréquence du filtre, évaluée à . Elle est égale à la transformée de Fourier en temps discret de la réponse impulsionnelle .$\omega=\omega_0$$h[n]$

Eq. montre comment une composante de fréquence d'entrée à la fréquence apparaît à la sortie. Son amplitude est mise à l'échelle par, et sa phase est décalée de . Par exemple, vous pouvez choisir les coefficients tels que pour une certaine fréquence . Dans ce cas, la composante de fréquence correspondante dans le signal d'entrée est complètement supprimée par le filtre. C'est ce que font les filtres coupe-bande.$(2)$$\omega_0$$|H(\omega_0)|$$\arg\{H(\omega_0)\}$$h[n]$$H(\omega_0)=0$$\omega_0$

Eq. explique le comportement dans le domaine fréquentiel d'un filtre à temps discret. Vous pouvez approximer toute réponse en fréquence souhaitée par en choisissant les coefficients de manière appropriée. C'est le sujet de la théorie de l'approximation, ou, plus spécifiquement, de la conception (domaine fréquentiel) des filtres numériques. Jetez un œil à cette réponse pour un bref aperçu de la conception des filtres numériques et pour quelques références.$(2)$$D(\omega)$$H(\omega)$$h[n]$

Aux réponses utiles qui ont été ajoutées jusqu'à présent, je voudrais ajouter, sur le point de l'intuition, que le filtrage fonctionne car il est basé sur la théorie des vagues et plus précisément sur l'interaction des ondes. Cela fournit un large éventail d'exemples intuitifs.

Mais aussi, qu'il y a fondamentalement deux points de vue. L'un est le point de vue abstrait, pris en modélisant la réalité puis en travaillant avec les modèles et l'autre est la réalité "physique". Autrement dit, ce qui se passe réellement dans la nature.

Par exemple, en réalité, le son d'une source rebondit sur un mur et revient aux oreilles des auditeurs. C'est la réalité. La réalité de la "modélisation", c'est de dire que le mur n'est qu'un détail. Ce qui se passe, c'est qu'il y a une autre source, à un endroit bien défini DERRIÈRE le mur qui reproduit le son de la source. Ce modèle simple permet alors d'étudier les réflexions comme l'ajout d'ondes ... Mais il n'y a rien de l'autre côté du mur.

$y=a \times cos(\omega t + \phi)$ est un oscillateur. S'il sortait d'un générateur de fonctions, au dessus d'un banc, on pourrait dire que correspond à la prise de sortie, est le cadran d'amplitude, est le cadran de fréquence et est le cadran de phase. Ainsi, chacun de nos symboles abstraits a une signification physique. Nous pouvons jouer avec le cadran de fréquence et il nous devient immédiatement accessible, il fait partie de notre expérience.$y$$a$$\omega$$\phi$

Pouvons-nous jouer avec ce que Matt. L parle dans sa réponse plus haut? Quelle est la correspondance physique de ? Que se passe-t-il réellement dans la réalité? Qu'est-ce que ?$h$$h$$h$

$h$ y a beaucoup de choses merveilleuses. Une pièce est un . Un long passage sous tunnel sous un pont est un . L'atmosphère est un . Un piano est un (généralement, les résonateurs d'instruments). L'océan est un . Un morceau de fil est un . Un amplificateur de guitare est un .$h$$h$$h$$h$$h$$h$$h$

Imaginez-vous dans ce que nous appelons l'espace libre . L'espace libre est un espace si grand que votre voix tombe à plat, elle ne résonne pas du tout. C'est une sensation très étrange. Pour comprendre ce que signifie vraiment "plat", il faut se retrouver dans un magasin qui vend des tissus (ou une chambre non écho ... le magasin de tissus est plus facile). Toutes les marchandises absorbent tellement le son que vous obtenez un sentiment d'isolement complet et sans aucun sens de l'orientation.

Mais de toute façon, nous sommes dans l'espace libre et nous avons ce générateur de fonctions sur un haut-parleur quelque part devant nous. Allume ça. Vous entendez le son cristallin d'un sifflet. Le haut-parleur fait vibrer l'air et finalement les vagues atteignent nos oreilles.

Nous apportons maintenant une feuille plate de granit. C'est une grande feuille de granit sur roues et nous pouvons la positionner où nous voulons, nous la positionnons quelque part derrière nous et observons que lorsque nous nous déplaçons à un endroit spécifique entre le haut-parleur et la feuille de granit, le son diminue en amplitude, jusqu'à ce qu'il disparaît complètement. Pourquoi cela arrive-t-il? Parce que les pics des ondes que l'enceinte produit devant nous se combinent (parfaitement) avec les creux des ondes qui sont produites par l'enceinte fantôme derrière nous (ou en fait, le fait que les mêmes ondes de l'enceinte rebondissent) de la feuille de granit et recombiner. Soit dit en passant, en raison de la physique de ce rebond, partout où vous avez une réflexion, la phase du signal réfléchi est inversée). Par conséquent, là où l'enceinte avant crée une certaine pression, l'enceinte arrière (la réflexion) crée une "aspiration" et l'air ne bouge pas efficacement.

Qu'est-ce que cela a à voir avec ?$h$

Commençons par un "vide" . Non, ce ne sont pas tous des zéros, cela ressemble à ceci . Le signal qui frappe les oreilles est . Le indique ici la convolution de Matt. Réponse de L ci-dessus. Avec ce , est identique à . C'est nous dans l'espace libre. Nous apportons maintenant le détail de la feuille de granit. Comment cela change-t-il ?$h$$h= [1,0,0,0,0,0,0,0]$$z=y * h$$*$$h$$z$$y$$h$

Cela pourrait être quelque chose comme ceci . Ce qui représente 1 rebond un peu plus tard que l'onde directe immédiate atteignant nos oreilles. Si la distance entre les deux s correspond à une demi-longueur d'onde de la fréquence de notre générateur, sera nul. D'autres longueurs d'onde seront annulées proportionnellement.$h=[1,0,0,0,0,1,0,0,0,0]$$1$$z$

Donc ... Nous pouvons sculpter le spectre harmonique de ... en plaçant soigneusement les échos dans ...$z$$h$

Maintenant, oubliez la gravité. Nous flottons dans l'espace libre (pas l'espace extra-atmosphérique) et nous apportons des feuilles de granit, des feuilles de contreplaqué, des feuilles de contreplaqué recouvertes de tissu, des feuilles de tissu très épais, du gypse, du verre, etc. et nous pouvons les positionner comme bon nous semble . En raison des différents matériaux, le «profil d'écho» que nous sculptons efficacement aura des amplitudes différentes. Donc, votre finira par être quelque chose comme .$h$$h=[1.0,0,0,0,0,-0.6,0,0.1,-0.05,0,0,0,0,0]$

Cela se produit-il réellement dans la réalité? Oui! Chaque fois que vous ressentez du son dans une belle salle de concert, quelqu'un reste assis pendant des heures à essayer de sculpter le la pièce afin que ses reflets ne donnent pas mal aux maux de tête ou que vous puissiez réellement entendre ce que dit l'enceinte$h$ . Et vous pouvez voir les outils de sculpture tout autour de vous, il y a des pièges à basses , il y a des diffuseurs , il y a simplement des panneaux suspendus au plafond, il y a des rideaux, chacun d'eux correspondant à un ou plusieurs coefficients en . En fait, le commençait à être sculpté puisque l'architecte avait précisé la forme de l'espace.$h$$h$

Pouvons-nous "obtenir" le d'une pièce? Certainement, allez dans votre salon, gonflez un ballon et laissez-le quelque part près de votre téléviseur, placez un microphone quelque part près du canapé et pincez le ballon pour qu'il éclate. Ce qui se produit? Une forte perturbation atmosphérique ( une impulsion unitaire ) se propage dans l'espace, elle frappe le microphone mais rebondit également sur les murs et les objets et frappe le microphone plus tard. Voilà, un qui, lorsqu'il est en contact avec le signal "plat" de votre téléviseur, simule ce que vous entendez réellement dans votre salon. Maintenant, répétez la même expérience dans la salle de bain (couverte de carreaux, signature différente), ou dans un long bunker en Écosse .$h$$h$

Différentes pièces, différents , expérience auditive différente$h$ . Expérience auditive différente dans le long passage souterrain en pavés, expérience auditive différente dans l'atelier de tissus.

C'est un orage. Vous voyez le verrou (c'est votre premier ) et plus tard vous entendez un grondement (échos ultérieurs de l'arc électrique). C'est le qui transporte des informations sur le paysage et l'atmosphère autour de nous alors que la perturbation atmosphérique causée par l'arc de foudre se déplace dans l'espace et rebondit. Il faut cependant l'éclatement de plus d'un ballon pour le voir. Vous frappez la note d'un piano, la vague se déplace le long de la corde, rebondit de sa fin et revient, elle voyage également à travers le corps en bois du piano et revient. Matériel différent pour les cordes et le corps, différent, piano différent.$1$$h$$h$

Attachez une ampoule à une brique , jetez-la par-dessus bord et enregistrez-la éclatant en profondeur (depuis ce site ). C'est le de l'océan sous le bateau, il transmet des informations sur la façon dont le son se propage.$h$

Qu'est-ce que tous ces phénomènes ont en commun? Vagues! Les ondes mécaniques en fait, dans le cas du son et de ses interactions. Et en fait, c'est juste une assez bonne approximation. Il existe de nombreux phénomènes non linéaires intéressants (ou celui-ci ) qui se produisent dans la mer et dans l'air et certainement dans les circuits électroniques (réalité, en général) qui sont regroupés dans ce modèle simple de sinusoïdes en interaction et où cette représentation de la réalité se briserait .

Enfin, veuillez noter que dans la réalité de la "modélisation", (du point de vue mathématique) l'intégrale de convolution est un moyen de résoudre des équations différentielles (modèles de systèmes) et a également d'autres applications (veuillez consulter les trois dernières de cette liste ) .

Une façon intuitive de regarder un filtre FIR est comme une sorte de fonction de correspondance en cours d'exécution. Une somme pondérée d'échantillons indique à quel point l'entrée ressemble à une valeur de "correspondance" inhérente aux poids.

Un filtre passe-bande ressemble à un morceau d'une forme d'onde à la fréquence à laquelle vous souhaitez que le filtre passe. Une bonne correspondance à partir d'un segment d'environ la même fréquence de signal d'entrée produit une valeur positive élevée. Décalez cette entrée de 90 degrés et la correspondance est orthogonale, ou presque, de sorte que le filtre génère une valeur faible. Décalez encore de 90 degrés et la forme d'onde du signal semble maintenant être à peu près l'inverse de la forme d'onde FIR, de sorte que le filtre génère une valeur négative. Cette alternance du positif au négatif produit ainsi une forme d'onde de sortie qui ressemble quelque peu à la forme d'onde d'entrée si elle est une bonne correspondance à une phase et une correspondance opposée à d'autres phases. D'autres formes d'onde d'entrée, telles que DC ou une fréquence beaucoup plus élevée, ne correspondront pas aussi bien, donc produiront des valeurs de sortie plus faibles.

Un filtre FIR à moyenne ou passe-bas mobile a beaucoup de poids identiques ou presque identiques, il sortira donc à un niveau plus élevé lorsque l'entrée n'oscille pas avec des valeurs positives et négatives autour de DC, ce qui annulera, au moins partiellement, une fois additionné après presque la même pondération.

Alors qu'un noyau de filtre FIR qui alterne tous les poids, ou presque, s'annulera avec une entrée DC, mais correspondra mieux aux entrées de fréquence la plus élevée, et produira donc plus d'entrée donnée qui ressemble moins à DC, par exemple un filtre passe-haut.

Depuis le filtrage FIR en tant que processus LTI, le "linéaire" dans LTI signifie que vous pouvez additionner plusieurs "types de correspondance" ensemble pour créer une combinaison linéaire de réponses en fréquence, ce qui est en quelque sorte la raison pour laquelle l'inverse FT d'une réponse en fréquence produit une réponse impulsionnelle qui peut être utilisé pour le filtrage FIR avec à peu près la réponse en fréquence souhaitée.

Certaines fonctions, telles que le sinus et le cosinus, peuvent être étroitement approchées par une courte récursivité. Un filtre IIR peut être considéré simplement comme une combinaison d'un générateur de fonction de récursivité courte qui génère une forme d'onde de "correspondance" semblable à un filtre FIR, en plus de faire simultanément le processus de correspondance ci-dessus en même temps.