Échantillonnage d'une fonction continue: delta de Kronecker ou Dirac?

J'ai lu des articles sur le traitement des signaux et je suis très confus au sujet du problème dans le titre de ma question. Considérons une fonction continue du temps , , que l' échantillon I à des moments inégaux , où . Pour moi, il est logique que la fonction échantillonnée soit: $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$ où estledeltade Kronecker(égal à lorsque , zéro ailleurs). Cependant,dans cet article, l'auteur définit le signal échantillonné comme:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

où

est la fonction delta de Dirac et je ne comprends vraiment pas pourquoi le

apparaît ici (l'auteur affirme que la fonction d'échantillonnage est en fait une somme pondérée des fonctions delta

f_{s} (t) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$

1 / N

$1/N$

et ici il choisit

. Je ne comprenais vraiment pas pourquoi). Cette dernière affirmation n'a pas beaucoup de sens pour moi: le signal échantillonné aurait une amplitude infinie à

s (t) = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

$f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— Néstor
source

La modélisation du processus d'échantillonnage par multiplication d'un signal en temps continu par un train d'impulsions Dirac est l'interprétation la plus courante de mon expérience. Si vous y creusez suffisamment, vous trouverez un certain désaccord sur la précision mathématique de cette approche *, mais je ne m'en inquiéterais pas; c'est juste un modèle pratique pour le processus. Il n'y a pas de générateurs d'impulsions à l'intérieur de l'ADC de votre téléphone portable générant des éclairs périodiques qui multiplient leurs entrées analogiques.

Comme vous l'avez noté, vous ne pouvez pas calculer la transformée de Fourier à temps continu de la fonction delta de Kronecker, car son domaine n'est pas continu (il est limité aux entiers). La fonction delta de Dirac, en revanche, a une simple transformée de Fourier, et l'effet de multiplier un signal par un train d'impulsions de Dirac est facile à montrer en raison de sa propriété de tamisage.

*: Par exemple, si vous voulez être mathématiquement précis, vous diriez que le delta de Dirac n'est pas du tout une fonction, mais une distribution à la place. Mais au niveau de l'ingénierie, ces problèmes ne sont vraiment que de la sémantique.

Edit: je répondrai au commentaire ci-dessous. Vous avez donné votre modèle mental du processus d'échantillonnage comme suit:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

$f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

ce qui n'est pas correct. Au lieu de cela, le modèle du signal échantillonné est:

f_{s} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

Ce qui est très similaire à ce qui précède, sauf en généralisant pour un train d'impulsions infiniment long le long de l'axe du temps et en supposant que les données sont échantillonnées uniformément à des instants de temps $t_k = kT$

\begin{aligned} F_{s} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (t) e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

$f(t)$ $x[n] = f(nT)$

F_{s} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

qui est exactement la définition de la transformée de Fourier en temps discret .

— Jason R
source

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$