Est un signal périodique?

Est un signal périodique? $x(t) = \cos t + \sin\left(\frac{1}{2}t\right)$

La réponse fournie par le livre est différente de ma réponse. Le livre dit que ce n'est pas un signal périodique. Pouvez-vous me dire pourquoi ce n'est pas un signal périodique?

Ma réponse:

$\cos(t)$ est périodique comme $2\pi f_1 = 1 \Rightarrow f_1=\frac{1}{2\pi} \Rightarrow T_1=2\pi$

$\sin\left(\frac{1}{2}t\right)$ est également périodique car $2\pi f_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow f_2=\frac{1}{4\pi} \Rightarrow T_2=4\pi$

Par conséquent, est un nombre rationnel $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$

Par conséquent, le est un signal périodique. $x(t)$

periodic

— Pranav Peethambaran
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Quel livre le dit?

— Matt L.

Pranav: Bienvenue sur DSP.SE! Vous avez posé une question de devoirs / d'autoformation précisément de la bonne manière: posé la question, précisé que c'est une question de manuel à laquelle vous essayez de répondre et montré ce que vous pensez que la réponse est (ou montrée autant que tu comprends). Bien joué!

— Peter K.

Les erreurs typographiques, sans parler de bévues, ne sont pas inconnues dans le manuel des solutions ou dans les "réponses aux problèmes impairs" qui sont incluses dans les manuels scolaires, car même si un professeur a peut-être écrit le texte et l'a relu attentivement, le manuel des solutions et les réponses aux exercices sont élaborées par des assistants étudiants diplômés harcelés et pas aussi soigneusement vérifiées par le professeur. Cela ne veut pas dire que le professeur est déchargé de sa responsabilité pour les erreurs, mais simplement une explication de la raison pour laquelle la «réponse du livre» ne doit pas être considérée comme la vérité de l'Évangile dans tous les cas.

— Dilip Sarwate

Merci mes amis d'avoir dissipé mon doute. Vous êtes les meilleurs les gars! Merci beaucoup :) C'était du livre de l'institut de coaching, l'un des problèmes d'entraînement. :)

— Pranav Peethambaran

SE.DSP vous souhaite une bonne année 2017, avec un aimable signal rappelant que votre question ou ses réponses peuvent nécessiter une action (mise à jour, votes, acceptation, etc.)

— Laurent Duval

Réponses:

Comme pour chaque et votre réponse est correcte: est périodique. $t_0\in\mathbb{R}$ $k\in\mathbb{Z}$

\begin{array}{rcl} x (t_{0} + 4 k π) & = \cos (t_{0} + 4 k π) + \sin (t_{0} / 2 + 2 k π) \\ = \cos (t_{0}) + \sin (t_{0} / 2) \\ = x (t_{0}) \end{array}

$\begin{eqnarray} &x(t_0+4k\pi) &=\cos(t_0+4k\pi)+\sin(t_0/2+2k\pi)\\ & &=\cos(t_0)+\sin(t_0/2)\\ & &=x(t_0) \end{eqnarray}$

x (t)

$x(t)$

— Deve
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Pour ajouter une réponse contraire: Si votre indice de temps, , est un entier, alors votre signal n'est pas périodique. $t$

La définition de périodique est: , est périodique avec la période si $x[t]$ $t\in\mathbb{Z}$ $P\in \mathbb{Z}$

x [t] = x [t + P]

$x[t] = x[t+P]$

Nous avons donc besoin de donc pour la périodicité nous avons besoin de avec .

\cos (t) = \cos (t + P)

$\cos(t) = \cos(t+P)$

P = 2 π k

$P = 2\pi k$

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$

Puisque est irrationnel, cela ne peut pas être le cas. $\pi$

Par conséquent, la première composante de votre signal ne peut pas être périodique, donc le signal entier ne peut pas être périodique.

— Peter K.
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Il n'est pas nécessaire que P soit entier, donc cos (t) = cos (t + P). Pour tout t cos (t) = cos (t + 2π), car cos (t + 2π) = sin (t) * sin (2π) + cos (t) * cos (2π) = sin (t) * 0 + cos (t) * 1 = cos (t)

— Stoleg

Agréable! mais si le livre suit la convention

x (t)

$x(t)$ désigne un signal en temps continu et

x [t]

$x[t]$ désigne un signal à temps discret avec

t

$t$ prenant uniquement des valeurs entières, alors cela ne s'applique pas ....

— Dilip Sarwate

@Stoleg: Non,

P

$P$ doit être un entier dans ce cas. Parce que l'indice de

x

$x$ doit être un entier pour les signaux temporels discrets. Autrement

x [t + P]

$x[t+P]$ n'est pas défini.

— Peter K.

@LaurentDuval: Merci! Oui, le signal en temps continu est définitivement périodique

x (t) = x (t + P)

$x(t) = x(t+P)$ , pour

t \in R

$t\in\mathbb{R}$ et

\forall P \in R

$\forall P \in \mathbb{R}$ . Et, comme vous le dites, la version échantillonnée (version à temps discret) n'est pas périodique, mais la version reconstruite l'est (à condition que nous ayons échantillonné assez rapidement ... bien qu'une version aliasée + reconstruite puisse également être périodique ... hmmm). ).

— Peter K.

F_{u n}

$\mathbf{F}_{un}$ !!!

— Peter K.

Les formules à double angle pour les identités trigonométriques vous indiquent que $\cos \left(\frac{2t}{t}\right) = 1 - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ .

Vous avez ainsi $x(t) =1 +\sin(\frac{t}{2}) - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ . Par conséquent, votre signal est composé de fonctions (comme ajoute et multiplie) que tous admettent $4\pi$ comme une période (oui, la fonction constante $x\to 1$ est également périodique de ). $4\pi$

Ainsi, votre fonction semble très périodique.

— Laurent Duval
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