Quelle est la relation entre les PSD d'entrée et de sortie du filtre?

Si un signal stationnaire à large sens $X$ est introduit dans un filtre LTI avec la fonction de transfert $H$ , la densité spectrale de puissance (PSD) de la sortie $Y$ peut s'exprimer comme suit:

R_{Y} (f) = {| H (f) |}^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f) = \left|H(f)\right|^2R_X(f)$

où $R_X$ désigne le PSD de $X$ .

Cette relation a-t-elle un nom commun?

transfer-function terminology

— Gilles
source

Je ne connais pas le nom de la relation, mais $\vert H(f)\vert^2$ est appelé la fonction de transfert de puissance du système LTI. Le spectre de puissance de sortie est le spectre de puissance d' entrée multiplié par la fonction de transfert de puissance , tout comme pour les signaux déterministes, le spectre de sortie est le spectre d'entrée multiplié par la fonction de transfert $H(f)$ .

— Dilip Sarwate
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Pour être extra-pédant, H (f) est la fonction de réponse en fréquence . H (w) est la fonction de transfert.

— mtrw

@mtrw Avez-vous une citation pour sauvegarder votre pédanterie? Le texte classique de Bracewell appelle la transformée de Fourier et ses applications

H (f)

$H(f)$ la fonction de transfert; d'autres textes appellent

H (ω)

$H(\omega)$ ou

H (j ω)

$H(j\omega)$ la fonction de transfert comme vous le faites; encore d'autres appellent

H (s)

$H(s)$ la fonction de transfert. Donc, veuillez fournir une citation qui dit que l’appel

H (f)

$H(f)$ la fonction de transfert est incorrecte car ce nom est réservé à

H (ω)

$H(\omega)$ .

— Dilip Sarwate

Tout d'abord, je dois m'excuser pour une erreur stupide. J'aurais dû dire que H (f) est le FRF, et H (s) est la fonction de transfert. Malheureusement, je n'ai plus ma copie des signaux et systèmes d'Oppenheim, Schafer & Young , c'est là que je me souviens avoir appris cela. Le mnémonique que j'ai appris était que la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle (H (f) ou H (jw)), puisqu'elle est évaluée pour des sinusoïdes pures, donne la réponse aux fréquences. Les transformées de Laplace et z (H (s) ou H (z)) donnent des fonctions de transfert.

— mtrw

La relation que vous avez résulte du théorème de Wiener-Khinchin (WK). Le théorème WK relie principalement l'autocorrélation de l'entrée et sa densité spectrale de puissance (PSD) en tant que paire de transformées de Fourier. Je n'ai pas entendu parler d'un nom particulier autre que de dire explicitement "Du théorème de WK, nous avons bla ..." De l'article cité:

Un corollaire [du théorème WK] est que la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation de la sortie d'un système LTI est égale au produit de la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation de l'entrée du système multiplié par la grandeur quadratique du Fourier transformation de la réponse impulsionnelle du système.

Bien qu'il ait été écrit et prouvé pour des signaux (ou fonctions) qui sont intégrables au carré, et ont donc une transformée de Fourier, il est couramment utilisé pour étudier les processus aléatoires WSS (qui n'ont pas de transformée de Fourier) en reliant l'autocorrélation via les attentes plutôt que intégrales.

— Lorem Ipsum
source

C'est une bonne réponse, mais vous ne répondez vraiment pas à la question? J'ai l'impression que votre réponse est le théorème de Wiener-Khincin, mais ce n'est pas vraiment vrai, je pense. J'espère que je n'ai pas l'air grincheux, mais la question est vraiment précise donc la réponse devrait / pourrait être précise.

— niaren

Je ne suis pas d'accord avec Wikipedia que le résultat en question est un corollaire du théorème WK. Le théorème WK dit que la PSD d'un processus WSS est la transformée de Fourier de sa fonction d'autocorrélation. C'est un résultat complètement différent que lorsqu'un processus WSS passe à travers un système linéaire, la fonction d'autocorrélation de sortie est liée à l'autocorrélation d'entrée comme

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$ . Ce résultat nécessite une analyse probabiliste et la prise d'attentes, etc. qui sont liées aux calculs utilisés pour prouver le théorème de WK, mais le résultat n'est pas un corollaire du théorème de WK

— Dilip Sarwate

Poursuivant mon commentaire précédent, une fois que l'analyse probabiliste a établi que

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$ , nous pouvons appliquer le théorème WK et dire

A_{X} (t) \leftrightarrow R_{X} (f)

$A_X(t) \leftrightarrow R_X(f)$ et

A_{Y} (t) \leftrightarrow R_{Y} (f)

$A_Y(t) \leftrightarrow R_Y(f)$ via WK, tandis que

h (t) \leftrightarrow H (f)

$h(t) \leftrightarrow H(f)$ et

\tilde{h} (t) \leftrightarrow H^{*} (f)

$\tilde{h}(t) \leftrightarrow H^*(f)$ et donc

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f) = |H(f)|^2 R_X(f)$ via le théorème de convolution qui est ce que le PO demandait. Mais tout cela est inapplicable, sauf si vous montrez d'abord que

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$ , et ce n'est pas un corollaire du théorème WK.

— Dilip Sarwate

@Dilip Je ne suis pas en désaccord avec cela, et je ne prétends jamais que le résultat pour WSS est un corollaire de WK. Le texte que j'ai cité ne fait que parler de la relation entre l'autocorrélation et les transformées de Fourier pour les entrées et les sorties d'un système LTI. Il ne parle pas de WSS. J'ai précisé juste en dessous que, bien que WK ait été prouvé pour les signaux intégrables carrés, il est utilisé pour étudier WSS en utilisant une approche probabiliste et en reliant l'autocorrélation via les attentes. C'est à peu près ce que vous avez dit ici, mais je ne suis pas entré dans les détails, car le PO ne l'a jamais demandé.

— Lorem Ipsum

@yoda Veuillez noter que j'ai dit que j'étais en désaccord avec ce que Wikipédia prétend, pas ce que vous avez dit. L'article de Wikipedia déclare que le théorème WK est valable pour les processus WSS, puis affirme que le résultat

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f)=|H(f)|^2R_X(f)$ est un corollaire du théorème WK qui n'est pas correct. Le résultat

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y=h∗\tilde{h}∗A_X$ peut être prouvé très simplement pour des signaux déterministes (intégrables au carré), puis

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f)=|H(f)|^2R_X(f)$ suit via le théorème de convolution. Pour les processus WSS, établissement

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y=h∗\tilde{h}∗A_X$ nécessite une analyse probabiliste (comme vous le dites correctement). Plus ci

— Dilip Sarwate