filtres IIR complémentaires

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Je voudrais une paire de filtres IIR complémentaires (passe-bas / passe-haut). Par complémentaire, je veux dire, lorsque la sortie des deux filtres est additionnée, le signal d'origine est récupéré. Je pensais pouvoir construire de telles paires avec des filtres Butterworth mais en utilisant un peu de maths, j'ai découvert que seuls les filtres de 1er ordre étaient complémentaires. Je pensais l'avoir déjà fait, mais j'oublie comment.

Quelque chose ne va pas avec mes mathématiques? Y a-t-il une solution facile que j'oublie?

Merci!

lowpass-filter infinite-impulse-response highpass-filter

— Bjorn Roche
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Si vous décrivez votre application plus en détail, ce serait utile. Je ne vois aucun avantage réel aux filtres complémentaires dans ce sens. Cependant, si vous êtes prêt à filtrer à nouveau vos signaux avant de les ajouter et de récupérer l'original, c'est une histoire très différente impliquant des ondelettes. Donc, si je peux obtenir plus d'informations sur ce que vous essayez de faire, je devrais pouvoir vous aider.

— Phonon

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La réponse de Juancho est en quelque sorte juste, mais il y a un problème: le filtre complémentaire d'un passe-bas n'est généralement PAS un filtre passe-haut, du moins pas dans le sens que vous recherchez. Par exemple, le complément d'un passe-bas Butterworth de 4e ordre ne ressemble pas du tout à un filtre passe-haut de 4e ordre. Il n'a qu'environ la moitié de la pente, atteint un gain maximum d'env. +6 dB en dessous de la fréquence de croisement et s'approche lentement du gain unitaire au-dessus de la fréquence de croisement.

Les seuls filtres passe-haut et passe-bas qui correspondent à l'unité sont les filtres de premier ordre. Vous pouvez cependant trouver des filtres d'ordre supérieur correspondant à un gain unitaire, de sorte que la fonction de transfert globale de la somme est un filtre passe-tout. Ce sont des filtres Butterworth d'ordre impair et même des filtres Linkwitz Riley.

— Hilmar
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Ah, intéressant! La première chose que j'ai essayée en regardant cela était Butterworth de troisième ordre parce que je pensais que je me souvenais que Butterworth d'ordre impair avait ces propriétés (et d'autres propriétés que je veux), mais cela n'a pas fonctionné. Je dois avoir fait une erreur. Je vais réessayer, merci!

— Bjorn Roche

Les BW d'ordre impair sont déphasés de 90 degrés, vous pouvez donc les ajouter ou les soustraire pour une réponse globale plate. Cependant, la somme et la différence ont un retard de groupe significativement différent, il existe donc un «meilleur» choix unique.

— Hilmar

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La réponse en fréquence des deux filtres complémentaires est , ou les réponses impulsionnelles . $H_2(e^{j\theta}) = 1 - H_1(e^{j\theta})$ $h_2[n] = \delta[n] - h_1[n]$

Pour un filtre IIR, peut être écrit comme . Alors devrait être quelque chose comme . $H_1(z)$ $\frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$ $H_2(z)$ $\frac{(a_0 - b_0) + (a_1 - b_1) z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$

Ainsi, les coefficients non récursifs pour sont maintenant , , etc. $H_2$ $(a_0-b_0)$ $(a_1 - b_1)$

Les coefficients récursifs sont les mêmes pour les deux filtres.

— Juancho
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Une excellente réponse est celle qui semble évidente rétrospectivement! Merci!

— Bjorn Roche