Je comprends la transformation de Fourier, qui est une opération mathématique qui vous permet de voir le contenu en fréquence d’un signal donné. Mais maintenant, dans mon comm. Bien sûr, le professeur a présenté la transformation de Hilbert.

Je comprends que cela soit quelque peu lié au contenu de fréquence étant donné que la transformation de Hilbert est en train de multiplier une FFT par ou de convoluer la fonction de temps avec .$-j\operatorname{sign}(W(f))$$1/\pi t$

Quelle est la signification de la transformation de Hilbert? Quelles informations obtenons-nous en appliquant cette transformation à un signal donné?

Une des applications de la transformation de Hilbert consiste à obtenir un signal dit analytique. Pour le signal $s(t)$ , sa transformée de Hilbert s ( t ) est défini comme une composition:$\hat{s}(t)$

Le signal analytique obtenu est une valeur complexe, nous pouvons donc l'exprimer en notation exponentielle:

où:

$A(t)$ est l'amplitude instantanée (enveloppe)

$\psi(t)$ est la phase instantanée.

Alors, comment sont-ils utiles?

L'amplitude instantanée peut être utile dans de nombreux cas (elle est largement utilisée pour trouver l'enveloppe de signaux harmoniques simples). Voici un exemple de réponse impulsionnelle:

Deuxièmement, en fonction de la phase, nous pouvons calculer la fréquence instantanée:

Ce qui est encore utile dans de nombreuses applications, telles que la détection de fréquence d'un tonalité rapide, la rotation de moteurs, etc.

D'autres exemples d'utilisation incluent:

• Échantillonnage de signaux à bande étroite en télécommunications (utilisant principalement des filtres Hilbert).

• L'imagerie médicale.

• Traitement de tableau pour la direction d'arrivée.

• Analyse de la réponse du système.

$\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$ conserve toutes les informations initiales, plus son "amplitude" est directement un module de 1. Tout ce qui précède nécessite des précautions, car la notion de limitation de bande et de localité entre en jeu.

La transformation de Hilbert (et la transformation de Riesz dans des dimensions plus élevées) pourrait être un outil plus fondamental. J'aime le prologue du chapitre 2 dans Explorations en analyse harmonique avec applications à la théorie de la fonction complexe et au groupe de Heisenberg , de Steven G. Krantz:

Prologue: La transformation de Hilbert est sans conteste l'opérateur le plus important en analyse. Il survient dans tellement de contextes différents, et tous ces contextes sont étroitement imbriqués de manière profonde et influente. En résumé, il n’ya qu’une seule intégrale singulière dans la dimension 1 et c’est la transformation de Hilbert. La philosophie est que toutes les questions analytiques significatives se réduisent à une intégrale singulière; et dans la première dimension, il n'y a qu'un seul choix.

Les applications en traitement signal / image sont nombreuses, probablement en raison de ses propriétés fondamentales: estimation instantanée amplitude / fréquence, construction de filtres causaux pour l’amplitude uniquement (relations de Kramers-Krönig), ondelettes directionnelles 2D à petite redondance, détection de bord invariant par décalage, etc.

Je suggérerais également les deux volumes de F. King, 2009, Hilbert transforme .

Une transformation (FT ou Hilbert, etc.) ne crée pas de nouvelle information à partir de rien. Ainsi, les "informations que vous obtenez", ou la dimension ajoutée dans le signal analytique complexe résultant fourni par une transformée de Hilbert d'un signal 1D / réel, est une forme de synthèse de l'environnement local de chaque point de ce signal, joint à celui point.

Les informations telles que la phase locale et l'amplitude de l'enveloppe sont en réalité des informations sur une largeur ou une étendue (dans une mesure infinie) d'un signal entourant chaque point local. La transformation de Hilbert, en générant une composante d'un signal analytique complexe à partir d'un signal réel 1D, compacte certaines informations d'une étendue environnante du signal sur chaque point d'un signal, permettant ainsi de prendre davantage de décisions (démodulation d'un bit, par exemple). , représentant graphiquement une amplitude d'enveloppe, etc.) à chaque point ou échantillon local (maintenant complexe), sans avoir à balayer et / ou traiter une nouvelle fenêtre (ondelette, fenêtre de Goertzel, etc.) d'une certaine largeur sur le signal à chaque point.

Le signal analytique produit par la transformation de Hilbert est utile dans de nombreuses applications d'analyse de signal. Si vous filtrez d'abord le signal passe-bande, la représentation analytique du signal vous donne des informations sur la structure locale du signal:

• $\pi$$\pm \pi/2$
• l'amplitude indique la force de la structure au point, indépendamment de la symétrie (phase).

Cette représentation a été utilisée pour

• détection de caractéristiques via l'énergie locale (amplitude)
• classification des caractéristiques en utilisant la phase
• détection de fonction via congruence de phase

Il a également été étendu à des dimensions supérieures en utilisant la transformée de Riesz, par exemple le signal monogénique.

L'implémentation d'une transformation de Hilbert nous permet de créer un signal analytique basé sur un signal original à valeurs réelles. Et dans le monde des communications, nous pouvons utiliser le signal analytique pour calculer facilement et avec précision l'amplitude instantanée du signal à valeur réelle d'origine. Ce processus est utilisé dans la démodulation AM. Le signal analytique permet également de calculer facilement et avec précision la phase instantanée du signal à valeurs réelles d'origine. Ce processus est utilisé à la fois en démodulation de phase et en modulation de fréquence. Votre professeur a raison de couvrir la transformation de Hilbert parce que c'est tellement utile dans les systèmes de communication.

Excellentes réponses déjà, mais je voulais ajouter que la conversion d'un signal en version analytique est facile dans le domaine numérique (le filtre demi-bande requis a la moitié de ses coefficients égal à zéro), mais une fois là, le taux d'échantillonnage peut être réduit. moitié, divisant essentiellement le traitement en chemins réels et imaginaires. De toute évidence, il y a un coût ici, et quelques termes croisés doivent être traités, mais généralement cela est utile dans les implémentations matérielles lorsque le taux d'horloge est un facteur.

Comme cela a déjà été expliqué dans d'autres réponses, la transformation de Hilbert est utilisée pour obtenir un signal d'analyse pouvant être utilisé pour trouver une enveloppe et une phase de signal.

Une autre façon de regarder la transformation de Hilbert est dans le domaine fréquentiel. Comme les signaux réels ont des composantes de fréquence positive et négative identiques, cette information est donc redondante en analyse.

Hilbert Transform est utilisé pour éliminer la partie de fréquence négative et doubler la magnitude de la partie de fréquence positive (pour conserver la même puissance).

Ici, le filtre Hilbert Transform conçu est bande passante dans la nature qui passe des fréquences de 50 MHz à 450 MHz. L'entrée est la somme de deux signaux sinusoïdaux ayant des fréquences égales à 200 MHz et 500 MHz.

À partir du graphique PSD, nous pouvons voir que la composante de fréquence négative du signal à 200 MHz s’atténue tandis que le signal à 500 MHz passe comme tel.

Cette question a déjà de nombreuses excellentes réponses, mais je voulais inclure cet exemple très simple et l'explication tirée de cette page qui ont permis d'éclaircir le concept et l'utilité de la transformation de Hilbert:

$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ $Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$ pour servir de `` partie imaginaire '':

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ La composante en quadrature de phase peut être générée à partir de la composante en phase par un simple décalage de quart de cycle. Pour les signaux plus complexes exprimables en tant que somme de nombreuses sinusoïdes, il est possible de construire un filtre qui décale chaque composante sinusoïdale d’un quart de cycle. Ceci s'appelle un filtre de transformation de Hilbert. Laisser${\cal H}_t\{x\}$ indiquer la sortie à l'heure $t$ du filtre de Hilbert-transform appliqué au signal $x$. Idéalement, ce filtre a une magnitude$1$ à toutes les fréquences et introduit un déphasage de $-\pi/2$ à chaque fréquence positive et $+\pi/2$à chaque fréquence négative. Quand un vrai signal$x(t)$ et sa transformation de Hilbert $y(t) = {\cal H}_t\{x\}$ sont utilisés pour former un nouveau signal complexe $z(t) = x(t) + j y(t)$ , le signal $z(t)$ est le signal analytique (complexe) correspondant au signal réel $x(t)$. En d'autres termes, pour tout signal réel$x(t)$ , le signal analytique correspondant $z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$ a la propriété que toutes les "fréquences négatives" de $x(t)$ ont été filtrés.

(Avertissement: je ne suis pas l'auteur de la page)