Propriétés statistiques des estimations de Kalman sous bruit gaussien

Pour un modèle état-espace linéaire avec l' état gaussiennes indépendantes et des bruits de sortie et estimation parfaite pour l' état initial, faire des estimations de Kalman ont les propriétés suivantes: où

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}), or V a r ({\hat{x}}_{k | k}), or V a r (x_{k}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$

$x_k$ est l'état au temps , qui est aléatoire $k$
$\hat{x}_{k|k}$ et sont des camarades de Kalman, c'est-à-dire des sorties du filtre de Kalman. $P_{k|k}$

Y a-t-il des références les mentionnant?

Merci!

kalman-filters

— Tim
source

Est

P_{k | k}

$P_{k|k}$ la matrice de covariance estimée a posteriori au temps

k

$k$ ? Il n'y a pas vraiment de notation standard qui est utilisée, donc ce n'est pas complètement clair ce que vous entendez par "estimations de Kalman".

— Jason R

@Jason: oui, c'est ...

— Tim

Réponses:

Les deux déclarations suivantes équivalent à dire:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

(1) Que l'estimateur est sans biais ; et

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

(2) Que l'estimateur est cohérent .

Ces deux conditions sont nécessaires pour que le filtre soit optimal - c'est-à-dire la meilleure estimation possible de par rapport à certains critères. $\mathbf{x}_{k|k}$

Si (1) n'est pas vrai, alors l'erreur quadratique moyenne (MSE) serait le biais plus la variance (dans le cas scalaire). C'est clair, c'est plus grand que la variance seulement et donc sous-optimal.

Si (2) n'est pas vrai (c'est-à-dire que la covariance calculée par filtre est différente de la vraie covariance), alors le filtre sera également sous-optimal. Étant donné que le gain de Kalman est basé sur la covariance d'état calculée, une erreur dans la covariance entraînera une erreur dans le gain. Une erreur de gain signifie une pondération sous-optimale des mesures.

(En l'occurrence, les deux conditions sont vraies pour un filtre correctement modélisé. Des erreurs de modélisation, telles que le modèle dynamique ou les covariances de bruit, rendront également le filtre sous-optimal).

Source: Bar-Shalom , en particulier la section 5.4 à la page 232-233.

— Damien
source

Il est important de noter que n'est PAS une variable aléatoire. C'est l'état du système qui est déterministe, qui est en général variable en . ce qui équivaut à dire $x_k$ $k$

E ({\hat{x}}_{k | k}) = x_{k}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

De plus,

V a r (x_{k}) = 0

$Var(x_k) = 0$

Et,

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$

x_{k}

$x_k$

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

Contexte

$x_k$ $w$ $Q$ $Q$ $GQG^T$ $G$

x_{k + 1} = A x_{k} + B u_{k} + G w

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

En guise de référence: le document de Kalman lui-même:http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

— aiao
source

{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$

x_{k}

$x_k$

x_{k}

$x_k$

@Drazick Le bruit du processus reçoit généralement le symbole w, avec la variance Q. xk est l'état du système, cela n'aurait aucun sens que les états soient aléatoires; l'estimation de l'autre, étant une variable aléatoire, a du sens

— aiao

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

G w

$Gw$

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

w

$w$

k

$k$

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$