Symétrie de transformée de Fourier discrète

Je lisais le chapitre sur les transformées de Fourier discrètes dans le livre de Lyon - Comprendre le traitement numérique du signal - et je ne pouvais pas comprendre le dernier paragraphe sur la symétrie.

Il y a une propriété de symétrie supplémentaire de la DFT qui mérite d'être mentionnée à ce stade. En pratique, nous devons parfois déterminer la DFT des fonctions d'entrée réelles où l'indice d'entrée $n$ est défini sur des valeurs positives et négatives. Si cette fonction d'entrée réelle est paire, alors $X(m)$ est toujours réel et pair; c'est-à-dire que si le réel $x(n) = x(−n)$ , alors $X_{\textrm{real}}(m)$ est en général non nul et $X_{\textrm{imag}}(m)$est zéro. Inversement, si la fonction d'entrée réelle est impaire, $x(n) = −x(−n)$ , alors est toujours zéro et est toujours , en général, différent de zéro.$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$

Remarque: $X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

• Premièrement, qu'entend-on par "impair" et "pair"? Je suppose que c'est le nombre d'échantillons dans le signal d'entrée, mais cela m'amène à ma deuxième question,
• Pourquoi zéro avec des fonctions d'entrée réelles qui sont paires et pourquoi, avec des fonctions d'entrée réelles qui sont impaires, est zéro et généralement non nul?$X_{\textrm{imag}}(m)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$

Pair et impair se réfèrent à la symétrie autour de .$n = 0$

Même signifie ; vous pouvez obtenir la pièce pour n < 0 en mettant simplement en miroir la pièce pour n > 0 sur la ligne n = 0 .$x[n] = x[-n]$$n < 0$$n > 0$$n=0$

Odd signifie ; vous pouvez obtenir la pièce pour n < 0 en mettant simplement en miroir la pièce pour n > 0 sur la ligne n = 0 et en la multipliant par - 1 .$x[n] = -x[-n]$$n < 0$$n > 0$$n=0$$-1$

Une onde cosinus est paire, une onde sinus est impaire.

Ce ne sont que des cas particuliers de la symétrie générale qui dit

s'il est réel dans un domaine, il est conjugué symétrique dans l'autre.

Conjugué symétrique signifie que la partie réelle est paire et la partie imaginaire est impaire. La plupart des gens savent qu'un signal du domaine temps réel en tant que spectre symétrique conjugué, mais il va également dans l'autre sens: un signal du domaine temporel symétrique conjugué a un spectre de valeur réelle.

La réponse de Hilmar est bien sûr parfaitement correcte, mais je pense qu'il y a plusieurs points que Lyon n'a pas abordés dans la déclaration citée par le PO (ou peut-être qu'il en a parlé précédemment et a choisi de ne pas se répéter dans le paragraphe cité par le PO) .

La transformée de Fourier discrète (DFT) est communément décrite comme la transformation d'une séquence de longueur finie N en une autre séquence ( X [ 0 ] , X [ 1 ] , … , X [ N - 1 ] ) de longueur N où X [ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$$N$$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$$N$ Mais ces formules peuvent également être utilisées lorsquem,nsont en dehors de la plage [0,N-1]et si nous le faisons, nous arrivons à la conclusion que le longueur -N DFT peut être considérée comme une transformation d'uneséquencepériodiquex[⋅] en une autreséquencepériodiqueX[⋅

$$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$$ $m, n$$[0, N-1]$$N$$x[\cdot]$$X[\cdot]$, s'étendant tous les deux à l'infini dans les deux directions, et que et ( X [ 0 ] , X [ 1 ] , … , X [ N - 1 ] ) ne sont qu'une période de ces séquences infiniment longues. Notez que nous insistons sur le fait que x [ n + $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ et X [ m + i N ] = X [ m ] pour tout m , n , et i .$x[n+iN] = x[n]$$X[m+iN] = X[m]$$m, n,$$i$

$N$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

$$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ $(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$ $$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ the DFT of the previous chunk $(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$ as $$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ etc. and then we play with these various DFTs of the various chunks into which we have subdivided our data. Of course, if the data are in fact periodic with period $N$, all these DFTs will be the same.

Now, when Lyons talks of ...where the input index n is defined over both positive and negative values... he is talking of the periodic case, and when he says that a (real) even function has the property $x[n] = x[-n]$, this property must hold for all integers $n$. Since periodicity also applies, we have not only that $x[-1] = x[1]$ but $x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$, and similarly, $x[-n] = x[n] = x[N-n]$. In other words, the real even sequence $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ whose DFT is a real even sequence (as stated by Lyons and explained very nicely by Hilmar) is necessarily of the form

$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$$ which is (apart from the leading $x[0]$) a palindromic sequence. If you are partitioning your data into blocks of length $N$ and computing the DFT of each block separately, then these separate DFTs will not have the symmetry properties described above unless the DFT is of a block with this palindromic property.

Just for even and odd function clarification,

Even : symmetric with respect to y axis Odd: symmetric with respect to origin

And without going into mathematical details, DFT of real valued function is symmetric, i.e. resultant Fourier function has both real and imaginary parts which are mirror images with respect to 0 frequency component. This doesn't happen in case where you take DFT of a complex function.