Quelle est la relation entre le sigma dans le laplacien de gaussien et les deux sigmas dans la différence des gaussiens?

Je comprends qu'un filtre laplacien-de-gaussien peut être approximé par un filtre de différence de gaussiens, et que le rapport des deux sigmas pour ce dernier devrait être de 1: 1,6 pour la meilleure approximation. Cependant, je ne sais pas comment les deux sigmas de la Différence des Gaussiens sont liés au sigma pour le Laplacien de Gaussien. Le plus petit sigma du premier est-il égal au sigma du second? Est le plus grand sigma? Ou la relation est-elle autre chose?

Je comprends qu'un filtre laplacien-de-gaussien peut être approximé par un filtre de différence de gaussiens, et que le rapport des deux sigmas pour ce dernier devrait être de 1: 1,6 pour la meilleure approximation

En théorie, plus le rapport entre deux sigmas est petit, meilleure est l'approximation. En pratique, vous obtiendrez des erreurs numériques à un moment donné, mais tant que vous utilisez des nombres à virgule flottante, des valeurs inférieures à 1,6 vous donneront une meilleure approximation.

Pour illustrer, j'ai tracé une coupe transversale du LoG et du DoG pour quelques valeurs de k dans Mathematica:

Comme vous pouvez le voir, k = 1,6 n'est pas une approximation idéale. Par exemple, k = 1,1 donnerait une approximation beaucoup plus proche.

Mais vous voulez généralement calculer des approximations LoG pour une gamme de sigmas. (Sinon, pourquoi s'embêter avec l'approximation DoG? Le calcul d'une seule image filtrée LoG n'est pas plus cher que le calcul d'une seule image filtrée DoG.) Ainsi, la valeur de k est généralement choisie pour que vous puissiez calculer une série de filtres gaussiens filtrés. des images avec sigmas s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ..., puis calculez les différences entre les gaussiens adjacents. Donc, si vous choisissez un k plus petit, vous devrez calculer plus de "couches" de gaussiens pour la même gamme sigma. k = 1,6 est un compromis entre vouloir une approximation proche et ne pas vouloir calculer trop de gaussiens différents.

Cependant, je ne sais pas comment les deux sigmas de la Différence des Gaussiens sont liés au sigma pour le Laplacien de Gaussien. Le plus petit sigma du premier est-il égal au sigma du second?

$t=\sigma ^2$$\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$$\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$$\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

Peut-être que les formules ici peuvent vous aider.

Étant donné que la représentation de l'espace d'échelle satisfait à l'équation de diffusion, le LoG peut être calculé comme la différence entre deux tranches d'espace d'échelle.

Par conséquent, lors de la dérivation de la formule DoG, nous approchons d'abord le LoG avec une différenciation finie. Je pense que le rapport spécifique pour sigma vient du fait qu'un pas unitaire d'échelle est pris pour approximer LoG en premier lieu.