Je suis nouveau dans le principe du calcul de la fréquence instantanée et j'ai posé beaucoup de questions à ce sujet. Vous les trouverez tous dans une liste à puces à la fin de ce texte. Le texte peut être un peu long, excusez-moi, mais j'ai vraiment essayé de résoudre ce problème par moi-même.
Je m'intéresse donc à la fréquence instantanée d'un signal de valeur réelle . Le calcul est effectué à l'aide d'un signal analytique , où est la transformation de Hilbert de .
Pour calculer les fréquences instantanées à partir du signal analytique j'ai suivi l'article:
Le calcul de la fréquence instantanée et de la bande passante instantanée par Arthur E. Barns à partir de 1992. Dans cet article, il présente plusieurs méthodes pour calculer la fréquence instantanée. J'écris, toutes les formules qu'il a proposées (et j'ai utilisées) dans un instant.
Pour "apprendre", j'ai joué avec un signal très simple, et deux signaux un peu plus complexes, dans MATLAB, et je voulais obtenir leurs fréquences instantanées.
Fs = 1000; % sampling-rate = 1kHz
t = 0:1/Fs:10-1/Fs; % 10s 'Timevector'
chirp_signal = chirp(t,0,1,2); % 10s long chirp-signal, signal 1
added_sinusoid = chirp_signal + sin(2*pi*t*10); % chirp + sin(10Hz), signal 2
modulated_sinusoid = chirp_signal .* sin(2*pi*t*10); % chirp * sin(10Hz), signal 3
Les tracés dans le domaine temporel de ces trois signaux se présentent comme suit:
Les tracés de toutes les fréquences instantanées que j'ai obtenues après avoir appliqué toutes les méthodes du papier sont les suivants:
Fréquences instantanées du signal gazouillis pur:
Fréquences instantanées du signal gazouillis avec sinusoïde ajoutée:
Fréquences instantanées du signal gazouillis modulé:
Veuillez noter que, dans les trois images, l'axe y des tracés 3 et 4 sont agrandis, de sorte que les amplitudes de celles-ci les signaux sont très petits!
La première possibilité pour passer du signal analytique à la fréquence instantanée est:
où est la phase instantanée. Je pense que c'est la méthode la plus couramment utilisée aujourd'hui, du moins sur la page Web de MATLAB, elle est calculée de cette façon. Le code ressemble à ceci:
function [instantaneous_frequency] = f2(analytic_signal,Fs)
factor = Fs/(2*pi);
instantaneous_frequency = factor * diff(unwrap(angle(analytic_signal)));
% Insert leading 0 in return-vector to maintain size
instantaneous_frequency = [0 instantaneous_frequency];
end
Dans l'article, Barns suggère maintenant (ou plutôt dit compile) quatre autres façons de calculer les fréquences instantanées à partir du signal analytique. Il mentionne également la formule supérieure, mais est d'avis qu'elle n'est pas pratique en raison des ambiguïtés de la phase. Je suppose qu'il ne connaissait pas la unwrap()méthode ou, pour être plus précis, les mathématiques derrière. (J'ai moi-même appris cette méthode aujourd'hui seulement, en regardant d'autres codes sources sur les fréquences instantanées)
Dans son article, la formule a l'étiquette Numéro (2), par conséquent, j'ai donné au f (t) l'index 2. Tous les autres index correspondent de la même manière à leurs nombres dans le papier.
Du fait des ambiguïtés en phase, il suggère plutôt:
function [instantaneous_frequency] = f3(analytic_signal,Fs,T)
x = real(analytic_signal);
y = imag(analytic_signal);
diff_x = diff(x);
diff_y = diff(y);
factor = Fs/(2*pi);
a = x(2:end).*diff_y;
b = y(2:end).*diff_x;
c = x(2:end).^2;
d = y(2:end).^2;
instantaneous_frequency = factor * ((a-b)./(c+d));
% Insert leading 0 in return-vector to maintain size
instantaneous_frequency = [0 instantaneous_frequency];
end
Puis Barner donne trois autres formules qu'il nomme "approximations instantanées de fréquence":
function[instantaneous_frequency] = f9(analytic_signal, Fs, T)
x = real(analytic_signal);
y = imag(analytic_signal);
factor = Fs/(2*pi*T);
a = x(1:end-T).*y(1+T:end);
b = x(1+T:end).*y(1:end-T);
c = x(1:end-T).*x(1+T:end);
d = y(1:end-T).*y(1+T:end);
instantaneous_frequency = factor.*atan((a-b)./(c+d));
% Append 0 to return-vector to maintain size
instantaneous_frequency = [instantaneous_frequency zeros(1,T)];
end
function [instantaneous_frequency] = f11(analytic_signal, Fs, T)
x = real(analytic_signal);
y = imag(analytic_signal);
factor = Fs/(4*pi*T);
a = x(1:end-2*T).*y(1+2*T:end);
b = x(1+2*T:end).*y(1:end-2*T);
c = x(1:end-2*T).*x(1+2*T:end);
d = y(1:end-2*T).*y(1+2*T:end);
instantaneous_frequency = factor.*atan((a-b)./(c+d));
% Append and insert 0s to maintain size
instantaneous_frequency = [zeros(1,T) instantaneous_frequency zeros(1,T)];
end
function [instantaneous_frequency] = formula14(analytic_signal, Fs, T);
x = real(analytic_signal);
y = imag(analytic_signal);
factor = 2*Fs/(pi*T);
a = x(1:end-T).*y(1+T:end);
b = x(1+T:end).*y(1:end-T);
c = (x(1:end-T)+x(1+T:end)).^2;
d = (y(1:end-T)+y(1+T:end)).^2;
instantaneous_frequency = factor * ((a-b)./(c+d));
% Append and insert 0s to maintain size
instantaneous_frequency = [instantaneous_frequency zeros(1,T)];
end
Dans les 3 approximations, les formules T ont été définies sur Fs (T = Fs = 1000 = 1s), comme suggéré dans le document.
Maintenant, ma question est:
- Les formules f2 et f3 renvoient le même résultat pour le signal chirp pur. Je pense que c'est bien, car ils calculent la même chose. Les trois méthodes d'approximation ne renvoient pas la même chose, pas même quelque chose qui s'en rapproche! Pourquoi est-ce le cas? (J'espère que ce n'est pas seulement un bug de programmation ...)
- Bien qu'ils reviennent de la même manière, en particulier à la fin de l'intrigue, ils commencent à beaucoup se tortiller . Quelle en est l'explication? J'ai d'abord pensé à quelque chose comme le repliement, mais ma fréquence d'échantillonnage est assez élevée, par rapport à la fréquence des signaux, donc je pense que cela peut être exclu.
Au moins f2 et f3 semblent fonctionner correctement sur un signal de chirp pur, mais toutes les méthodes, y compris f2 et f3 semblent échouer horriblement, quand il s'agit de plus d'une fréquence dans le signal. En réalité, avoir plus d'une fréquence dans un signal est plutôt toujours le cas. Alors, comment obtenir la fréquence instantanée (plus ou moins) correcte?
- En fait, je ne sais même pas à quoi m'attendre, lorsque plus d'une fréquence est présente dans le signal. Le calcul renvoie un nombre pour un moment donné, alors que doit-il faire lorsque, comme ici, plus de fréquences sont présentes? Renvoyer la moyenne de toutes les fréquences ou quelque chose comme ça?
Et ma question probablement la plus importante est: comment cela est-il géré dans un logiciel réel et élaboré? Disons que je veux connaître la fréquence instantanée du signal modulé à 1,75 s, et j'ai choisi la méthode f2, que je puisse être «chanceux» et obtenir un nombre proche de 6 [Hz] qui est probablement la bonne réponse, ou je choisir mes résultats quelques échantillons à côté et soudain, j'obtiens un résultat filaire, trop élevé, car j'ai malheureusement choisi une valeur dans le pic. Comment cela peut-il être géré? En le post-traitant avec un filtre médian moyen ou mieux? Je pense que même cela pourrait devenir vraiment difficile, surtout dans les régions où de nombreux pics sont côte à côte.
Et une dernière question, pas si importante, pourquoi la plupart des articles que je trouve sur les fréquences instantanées proviennent du domaine de la géographie, en particulier dans le calcul des événements sismographiques comme les tremblements de terre. Le document de Barne prend également cela comme exemple. La fréquence instantanée n'est-elle pas intéressante dans de nombreux domaines?
Ça y est jusqu'à présent, je suis très reconnaissant pour chaque réponse, surtout quand quelqu'un me donne des conseils sur la façon de l'implémenter dans un vrai projet logiciel ;)
Cordialement, Patrick