Comment comprendre Kalman gagner intuitivement?

L' algorithme de filtre de Kalman fonctionne comme suit

Initialisez et .$\hat{\textbf{x}}_{0|0}$$\textbf{P}_{0|0}$

A chaque itération$k=1,\dots,n$

Prédire

Estimation prédite (a priori) de l'état Covariance estimée (a priori) Mise à jour

$$\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1|k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k}$$ $$\textbf{P}_{k|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1|k-1} \textbf{F}_{k}^{\text{T}} + \textbf{Q}_{k}$$

Innovation ou mesure résiduelle Innovation (ou résiduelle) covariance Gain de Kalman optimal Estimation d'état mise à jour (a posteriori) Mis à jour (a posteriori) estimer la covariance \ textbf {P} _ {k | k} = (I - \ textbf {K} _k \ textbf {H} _k) \ textbf {P} _ {k | k-1}

$$\tilde{\textbf{y}}_k = \textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$$ $$\textbf{S}_k = \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k$$ x k | k = x k | k - 1 + K k ˜ y k P k | k =(I- K k H k ) P k | k - $$\textbf{K}_k = \textbf{P}_{k|k-1}\textbf{H}_k^\text{T}\textbf{S}_k^{-1}$$ $$\hat{\textbf{x}}_{k|k} = \hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{K}_k\tilde{\textbf{y}}_k$$ $$\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_k) \textbf{P}_{k|k-1}$$

Le gain de Kalman $K_k$ représente l'importance relative de l'erreur $\tilde{\textbf{y}}_k$ par rapport à l'estimation précédente $\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$ .

Je me demande comment comprendre intuitivement la formule du gain de Kalman K_k ? Considérez le cas lorsque les états et les sorties sont scalaires, pourquoi le gain est-il plus grand, quand$K_k$

• $\textbf{P}_{k|k-1}$ est plus grand

• $\textbf{H}_k$ est plus grand

• $\textbf{S}_k$ est plus petit?

Merci et salutations!

J'ai trouvé une bonne façon de penser intuitivement Kalman gain . Si vous écrivez cette façon$K$$K$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{\frac {P_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

vous vous compte que les grandeurs relatives des matrices ( ) et ( ) contrôlent une relation entre l'utilisation par le filtre de l'estimation d'état prédite ( ) et la mesure ( ).$R_k$$P_k$$x_{k}⁻$$ỹ_k$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{R_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf{H_k^{-1}}$

$\displaystyle \quad\ \lim\limits_{\bf{P_k \to 0}} \bf{{P_k^-\, H_k^{\rm T}} \over\ {H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}\ = \bf 0$

Substitution de la première limite dans l'équation de mise à jour de la mesure

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

suggère que lorsque l'amplitude de est petite, ce qui signifie que les mesures sont précises, l'estimation d'état dépend principalement des mesures.$R$

Lorsque l'état est connu avec précision, alors est petit par rapport à , et le filtre ignore principalement les mesures reposant plutôt sur la prédiction dérivée de l'état précédent ( ).$H P^⁻ H^T$$R$$x_k⁻$

Le gain de Kalman vous indique à quel point je souhaite modifier mon estimation en fonction d'une mesure.

${\bf S}_k$ est la matrice de covariance estimée des mesures . Cela nous indique la "variabilité" de nos mesures. Si elle est grande, cela signifie que les mesures "changent" beaucoup. Votre confiance dans ces mesures est donc faible. En revanche, si est faible , la variabilité est faible, notre confiance dans la mesure augmente. Lorsque nous sommes convaincus de nos mesures, nous étions convaincus que les informations que nous obtenons sont suffisamment bonnes pour nous de mettre à jour / modifier nos estimations d'état. Le gain Kalman est donc plus élevé.${\bf z}_k$${\bf S}_k$

${\bf P}_k$ est la matrice de covariance d'état estimée. Cela nous indique la "variabilité" de l'état, . Si est grand , cela signifie que l'état devrait beaucoup changer. Vous devez donc pouvoir modifier vos estimations avec de nouvelles mesures. En conséquence, le gain de Kalman est plus élevé.${\bf x}_k$${\bf P}_k$

Inversement, si est petit, alors vous savez que votre état ne change pas beaucoup, donc vous ne voulez pas trop modifier vos estimations à chaque instant. @ La réponse de Jav_Rock dit que si , alors le . En d'autres termes, il a laissé entendre que si vous pensez que votre état ne varie plus, vous n'essayez plus de modifier votre estimation.${\bf P}_k$${\bf P}_k \rightarrow 0$$K\rightarrow 0$

Jav_Rock a obtenu le point. En fait, si vous écrivez comme ceci$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{K_k} = \bf{P_k^-\, H_k^{\rm T} (H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k)^{-1}} = \bf{H_k^-\frac {H_kP_k^-\, H_k^{\rm T}}{H_k P_k^-\, H_k^{\rm T} + R_k}}$

le numérateur de la fraction représente l'incertitude propagée à partir du modèle tandis que représente l'incertitude de la mesure. Ainsi, la valeur de la fraction représente à quel point nous devons faire confiance à la mesure, comme expliqué par Jav_Rock.$\bf{R_k}$

Quant au , il ne fait que retransformer l'observation à l'état, car c'est l'état que nous voulons mettre à jour, pas l'observation.$\bf{H_k^-}$

Pour conclure, le gain calcule combien de correction nous devons prendre de l'observation et retransforme la correction d'observation en correction d'état, ce qui conduit à la mise à jour de l'estimation d'état:$\bf{K_k}$

$\displaystyle \quad\ \bf{\hat x_k} = \bf{x_k^-} + \bf{K_k}(\bf{\tilde y_k}-\bf{H_k}\bf{x_k^-})$

Je travaille sur l'algorithme du filtre de Kalman (KF). J'ai observé que le gain kalman traite de la convergence de l'algorithme avec le temps, c'est-à-dire à quelle vitesse l'algorithme corrige et minimise le résidu.

En arrivant à l'équation, choisissez une valeur de gain kalman initiale et faites-la varier de faible à élevée, ce qui peut vous donner une valeur approximative.