Différentes représentations de l'espace d'état pour l'auto-régression et le filtre de Kalman

Je vois qu'il existe différentes façons d'écrire un modèle AR dans une représentation de l'espace d'état, afin que nous puissions appliquer un filtre de Kalman pour estimer le signal. Voir les exemples 1, 2 et 3 ici .

Je me demande quelles sont les différences entre les différentes représentations de l'espace d'état sur l'estimation par filtre de Kalman?

Merci!

Je ne sais malheureusement pas grand-chose sur les filtres de Kalman, mais je pense que je peux vous aider avec les trucs de l'espace d'état.

Dans l'exemple 1, le modèle AR est exactement votre bonne vieille définition récursive de sortie DSP:

$$y_t = \alpha + \phi_1y_{t-1} + \phi_2y_{t-2} + \eta_t$$

Dans ce cas, nous écrivons le modèle de l'espace d'état avec une correspondance directe avec l'équation ci-dessus:

$$\begin{pmatrix}y_t \\ y_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\alpha \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

Notez que dans ce cas, les états du système sont les valeurs actuelles et précédentes de la sortie.

Dans le deuxième exemple, vous séparez vos états $c$à partir de vos valeurs de sortie. Cela signifie que les états peuvent désormais être n'importe quoi, même s'ils correspondent toujours directement aux valeurs de sortie. De cette façon, nous obtenons

$$y_t = \mu + c_t$$

$$c_t = \phi_1c_{t-1} + \phi_2c_{t-2} + \eta_t$$

Et donc

$$\begin{pmatrix}c_t \\ c_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{t-1} \\ c_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

Vous devez également reconnaître cela comme la représentation standard de l'espace d'état d'un système linéaire, car vos équations d'évolution d'état et de sortie dépendante de l'état sont deux équations différentes . Cette séparation est triviale dans le cas d'un modèle AR, mais cette dernière notation est la façon dont nous pensons à tous les modèles linéaires espace-état en général.

Le troisième exemple est curieux. Si vous multipliez tous les coefficients, vous vous rendrez compte qu'il est en fait équivalent aux premier et deuxième exemples. Alors pourquoi faire ça? Il s'avère que l'exemple 2 (étant la représentation appropriée de l'espace d'état du système) est appelé la forme canonique contrôlable de ce système. Si vous faites un peu de lecture ou analysez simplement le système avec soin, vous vous rendrez compte que nous pouvons mettre ce système dans n'importe quel état que nous aimons à condition$\phi_1$ et $\phi_2$ avec l'entrée unique $\alpha$. Par conséquent, nous appelons de tels systèmes contrôlables , et il est très facile de voir à partir de cette forme d'équations espace-état.

Il faut noter que deux systèmes linéaires peuvent être identiques jusqu'à un changement de base. Cela signifie que nous pouvons choisir une base différente pour représenter le même système linéaire. Vous pouvez vous convaincre que c'est exactement ce que nous avons fait pour passer du deuxième au troisième exemple. En particulier, nous aimons cette transformation linéaire pour transposer la matrice de transition d'état, afin d'obtenir un état inconnu$\boldsymbol{s}$

$$y_t = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \boldsymbol{\alpha_t}$$

$$\boldsymbol{\alpha_t} = \begin{pmatrix}s_t \\ s_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s_{t-1} \\ s_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\alpha \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

Maintenant, nous pouvons utiliser le changement de base pour savoir ce que cet état $\boldsymbol{s}$ doit être par rapport à l'État $\boldsymbol{y}$. Et nous pouvons le calculer pour être

$$\begin{pmatrix}s_t \\ s_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_t \\ \phi_2 y_{t-1}\end{pmatrix}$$

Cette forme (transposition de la forme canonique de contrôlabilité) est appelée la forme canonique d'observabilité parce que si nous pouvons mettre un système sous cette forme, nous pouvons facilement déduire quels états du système peuvent être observés en regardant simplement la sortie. Pour une description des formes canoniques, vous pouvez lire ce document , et bien sûr regarder autour sur le web. Notez que dans le document, les états sont inversés, ce qui ne change rien à la représentation du système, réorganisant simplement les lignes / colonnes des matrices.

En bref, tout dépend de ce que vous essayez d'estimer, c'est-à-dire de ce que vous savez du signal et de ce que vous ne savez pas. Le filtre de Kalman tentera d'estimer l'état en fonction de votre définition de cet état. Le problème conventionnel est lorsque nous essayons d'estimer les coefficients AR.

Prenons un exemple de $AR(2)$ modèle sans terme constant $\mu$.

$$y_k = a_1y_{k-1} + a_2y_{k-2} + \eta_k$$

Pour estimer le système ci-dessus, il vous suffit d'estimer les coefficients AR, $a_1$ et $a_2$.

Configuration générale de l'espace d'état du filtre de Kalman:

$${\bf x}_{k} = {\bf F}_{k-1}{\bf x}_{k-1} + {\bf w}_k$$ $${\bf y}_{k} = {\bf H}_{k}{\bf x}_{k} + {\bf v}_k$$ ${\bf w}_k= WGN(0, Q^s)$ et ${\bf v}_k= WGN(0, Q^o)$

Dans ce cas, nous devons estimer $a_1$ et $a_2$. Il est donc naturel de définir l'état comme ces coefficients.${\bf x}_k = [a_1, a_2]^T$ Pour cet exemple, ces coefficients sont constants (${\bf F}_{k} ={\bf F}_{k-1} = {\bf I}$) et il n'y a pas non plus de bruit dans ces coefficients -> ${\bf w}_k = {\bf 0} \implies Q^s = {\bf 0}$.

Puisque tout ce que nous observons est $y_k$, ils deviennent les mesures de notre système. Puisque nous avons déjà défini ce qu'est le vecteur d'état, pour que nos équations de mesure soient égales au modèle AR donné, nous remplaçons notre bruit de mesure${\bf v}_k$ avec $\eta_k$ et ${\bf H}_{k} = [y_{k-1}, y_{k-2}]$.

$${\bf x}_{k} = {\bf x}_{k-1} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$$ $$y_k = {\bf H}_{k}{\bf x}_{k} + \eta_k = \begin{bmatrix} y_{k-1} & y_{k-2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} + \eta_k$$

Maintenant, vous pouvez utiliser le filtre de Kalman pour estimer votre état et par conséquent votre signal.

Remarque: La seule chose étrange ici est votre matrice ${\bf H}_k$ dépend de vos mesures $y_k$. Certaines personnes pensent à tort que les gains de Kalman et la matrice de covariance d'état sont toujours indépendants de la mesure et qu'ils peuvent être calculés à l'avance. Ce cas montre clairement que ce n'est pas le cas. Le gain de Kalman et la matrice de covariance d’État sont estimés avec des fonctions de ${\bf H}_k$, qui dans ce cas dépend de la mesure.