Livres / ressources pour implémenter diverses fonctions mathématiques en arithmétique à virgule fixe à des fins DSP

Je recherche des livres ou des ressources qui couvrent en détail les éléments suivants:

• mettre en œuvre des fonctions mathématiques (par exemple, logarithme, exponentielle, sinus, cosinus, inverse) en arithmétique à virgule fixe à des fins DSP.

• des techniques telles que l'utilisation de tables de recherche, de séries Taylor, etc.

Je suis assez familier avec la programmation C et je suis plus intéressé par les algorithmes sur la façon de mettre en œuvre efficacement diverses fonctions mathématiques.

la forme polynomiale générale est:

$$\begin{align} f(u) &= \sum\limits_{n=0}^{N} \ a_n \ u^n \\ \\ &= a_{\small{0}} + \Bigg(a_{\small{1}} + \bigg(a_{\small{2}} + \Big(a_{\small{3}} + \,... \big(a_{\small{N-2}} + (a_{\small{N-1}} + a_{\small{N}} \,u \,)u \, \big)u \ ...\Big)u \, \bigg)u \, \Bigg)u\\ \end{align}$$

cette dernière forme utilise la méthode de Horner , ce qui est fortement recommandé, surtout si vous le faites en virgule flottante simple précision.

puis pour quelques fonctions spécifiques:

racine carrée:

$$\begin{align} f(x-1) & \approx \sqrt{x} \quad \quad 1 \le x \le 2 \quad \quad N=4\\ a_0 & = 1.0 \\ a_1 & = 0.49959804148061 \\ a_2 & = -0.12047308243453 \\ a_3 & = 0.04585425015501 \\ a_4 & = -0.01076564682800 \\ \end{align}$$

si $2 \le x \le 4$, utilisez ce qui précède pour évaluer $\sqrt{\tfrac{x}{2}}$ et multiplier ce résultat avec $\sqrt{2}$ obtenir $\sqrt{x}$. comme avec$\log_2(x)$, appliquez la puissance de $2$ mise à l'échelle pour mettre l'argument à l'échelle dans la plage nécessaire.

logarithme en base 2:

$$\begin{align} x\cdot f(x-1) & \approx \log_2(x) \quad \quad 1 \le x \le 2 \quad \quad N=5\\ a_0 & = 1.44254494359510 \\ a_1 & = -0.7181452567504 \\ a_2 & = 0.45754919692582 \\ a_3 & = -0.27790534462866 \\ a_4 & = 0.121797910687826 \\ a_5 & = -0.02584144982967 \\ \end{align}$$

exponentielle base 2:

$$\begin{align} f(x) & \approx 2^x \quad \quad 0 \le x \le 1 \quad \quad N=4\\ a_0 & = 1.0 \\ a_1 & = 0.69303212081966 \\ a_2 & = 0.24137976293709 \\ a_3 & = 0.05203236900844 \\ a_4 & = 0.01355574723481 \\ \end{align}$$

sinus:

$$\begin{align} x\cdot f(x^2) & \approx \sin\left(\tfrac{\pi}{2} x \right) \quad \quad -1 \le x \le 1 \quad \quad N=4 \\ a_0 & = 1.57079632679490 \\ a_1 & = -0.64596406188166 \\ a_2 & = 0.07969158490912 \\ a_3 & = -0.00467687997706 \\ a_4 & = 0.00015303015470 \\ \end{align}$$

cosinus (utiliser sinus):

$$\cos(\pi x) = 1 \, - \, 2 \, \sin^2 \left(\tfrac{\pi}{2} x \right)$$

tangente:

$$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

tangente inverse:

$$\begin{align} \frac{x}{f(x^2)} & \approx \arctan(x) \quad \quad -1 \le x \le 1 \quad \quad N=4 \\ a_0 & = 1.0 \\ a_1 & = 0.33288950512027 \\ a_2 & = -0.08467922817644 \\ a_3 & = 0.03252232640125 \\ a_4 & = -0.00749305860992 \\ \end{align}$$

$$\arctan(x) = \tfrac{\pi}{2} - \arctan\left( \tfrac{1}{x} \right) \quad \quad 1 \le x$$

$$\arctan(x) = -\tfrac{\pi}{2} - \arctan\left( \tfrac{1}{x} \right) \quad \quad x \le -1$$

sinus inverse:

$$\arcsin(x) = \arctan\left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right)$$

cosinus inverse:

$$\begin{align} \arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) \\ &= \frac{\pi}{2} - \arctan\left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right)\\ \end{align}$$

Bien qu'il ne soit pas spécifique au point fixe, je recommande fortement le livre "Math Toolkit for Real-Time Programming" de Jack Crenshaw. Il est livré avec un CD avec le code source.

TI possède des bibliothèques IQMath pour tous ses microcontrôleurs à virgule fixe. Je les ai trouvés être une mine d'or de fonctions mathématiques et DSP à virgule fixe qui ne se limitent pas nécessairement aux puces TI.

MSP430 C28X

L'approximation de Chebyshev peut aider à calculer des coefficients polynomiaux qui sont proches de l'optimum pour approximer une fonction sur une plage finie. Vous exécutez la routine d'approximation sur un PC pour obtenir un ensemble particulier de coefficients polynomiaux, que vous pouvez ensuite appliquer sur la plate-forme que vous souhaitez (par exemple intégrée / DSP). Les petits caractères sont plus ou moins les suivants:

• Cela ne fonctionne que pour les fonctions d'une variable; si vous avez une fonction$z=f(x,y)$ alors l'approximation de Chebyshev ne va pas vous aider.
• La fonction que vous approximez doit être de type "polynomial". Les coins, les virages serrés et de nombreux mouvements nécessitent des polynômes d'ordre supérieur pour atteindre un niveau de précision donné.
• Il est important de maintenir l'ordre polynomial bas - au-dessus du 5e environ, vous pouvez commencer à voir des erreurs numériques.
• L'approximation de Chebyshev utilise les polynômes de Chebyshev évalués sur le domaine [-1,1], donc si la plage d'entrée de votre fonction est significativement différente, vous devrez peut-être mettre à l'échelle / compenser l'entrée de manière appropriée avant de déterminer les coefficients et avant de les appliquer. Par exemple, si je me soucie d'une fonction sur la plage d'entrée$x \in [0,20]$ alors je pourrais définir $u = (x\times 0.1) - 1$ pour que $u$ varie de -1 à +1 et je peux évaluer un polynôme dans $u$pour calculer le résultat requis. Sans cette mise à l'échelle, vous pouvez rencontrer des erreurs numériques plus facilement - ou déclaré d'une autre manière, pour la même précision, vous devrez peut-être des longueurs de bits plus élevées pour calculer les valeurs intermédiaires, ce qui est généralement indésirable.