Pourquoi la DFT suppose-t-elle que le signal transformé est périodique?

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Dans de nombreux livres sur le traitement du signal, il est affirmé que la DFT suppose que le signal transformé est périodique (et que c'est la raison pour laquelle une fuite spectrale par exemple peut se produire).

Maintenant, si vous regardez la définition de la DFT, il n'y a tout simplement pas ce genre d'hypothèse. Cependant, dans l'article de Wikipedia sur la transformée de Fourier à temps discret (DTFT), il est indiqué que

Lorsque la séquence de données d'entrée est périodique, Eq.2 peut être réduit par calcul à une transformée de Fourier discrète (DFT) $x[n]$ $N$

Alors, cette hypothèse vient-elle du DTFT?
En fait, lors du calcul de la DFT, est-ce que je calcule en fait la DTFT avec l'hypothèse que le signal est périodique?

discrete-signals signal-analysis dft

— user10839
source

Parce que DFT X [k] de x [n] est la première période de la série de Fourier discrète (DFS) du signal périodique xp [n] dont la première période est considérée comme x [n]

— Fat32

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semble que je vais devoir écrire une réponse dissidente à cela. la DFT suppose que le signal transformé est périodique car il ajuste un ensemble de fonctions de base au signal transformé, qui sont toutes périodiques.

— robert bristow-johnson

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La DFT n'est que l'expression simplifiée de la DFS, donc l'hypothèse périodique existe intrinsèquement.

— lxg

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Il existe déjà de bonnes réponses, mais j'ai toujours envie d'ajouter une autre explication, car je considère que ce sujet est extrêmement important pour la compréhension de nombreux aspects du traitement numérique du signal.

Tout d'abord, il est important de comprendre que la DFT n'assume pas la périodicité du signal à transformer. La DFT est simplement appliquée à un signal fini de longueur et les coefficients DFT correspondants sont définis par $N$

\begin{matrix} (1) & X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} X [n] e^{- j 2 π n k / N}, k = 0, 1, \dots, N - 1 \end{matrix}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N},\quad k=0,1,\ldots,N-1\tag{1}$

D'après (1), il est évident que seuls les échantillons de dans l'intervalle sont pris en compte, donc aucune périodicité n'est supposée. En revanche, les coefficients peuvent être interprétés comme des coefficients de Fourier de la suite périodique du signal . Cela peut être vu à partir de la transformation inverse $x[n]$ $[0,N-1]$ $X[k]$ $x[n]$

\begin{matrix} (2) & X [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N} \end{matrix}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi nk/N}\tag{2}$

qui calcule correctement dans l'intervalle , mais il calcule également son maintien périodique en dehors de cet intervalle , car le côté droit de (2) est périodique de période . Cette propriété est inhérente à la définition de la DFT, mais elle ne doit pas nous déranger car normalement nous ne sommes intéressés que par l'intervalle . $x[n]$ $[0,N-1]$ $N$ $[0,N-1]$

Considérant la DTFT de $x[n]$

\begin{matrix} (3) & X (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} X [n] e^{- j n ω} \end{matrix}

$X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jn\omega}\tag{3}$

nous pouvons voir en comparant (3) à (1), que si est une séquence finie dans l'intervalle , les coefficients DFT sont des échantillons du DTFT : $x[n]$ $[0,N-1]$ $X[k]$ $X(\omega)$

\begin{matrix} (4) & X [k] = X (2 π k / N) \end{matrix}

$X[k]=X(2\pi k/N)\tag{4}$

Ainsi, une utilisation de la DFT (mais certainement pas la seule) est de calculer des échantillons de la DTFT. Mais cela ne fonctionne que si le signal à analyser est de longueur finie . Habituellement, ce signal de longueur finie est construit en fenêtrant un signal plus long. Et c'est ce fenêtrage qui provoque des fuites spectrales.

Remarquez enfin que la DTFT de la suite périodique de la séquence finie peut s'exprimer en termes de coefficients DFT de : $\tilde{x}[n]$ $x[n]$ $x[n]$

\begin{matrix} (5) & \tilde{x} [n] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x [n - k N] \end{matrix}

$\tilde{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[n-kN]\tag{5}$

\begin{matrix} (6) & \tilde{X} (ω) = \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] δ (ω - 2 π k / N) \end{matrix}

$\tilde{X}(\omega)=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{6}$

EDIT: Le fait que et donnés ci-dessus soient une paire de transformées DTFT peut être montré comme suit. Notons tout d'abord que le DTFT d'un peigne à impulsion de temps discret est un peigne Dirac: $\tilde{x}[n]$ $\tilde{X}(\omega)$

\begin{matrix} (7) & \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ [n - k N] ⟺ \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - 2 π k / N) \end{matrix}

$\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\Longleftrightarrow\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{7}$

La séquence peut s'écrire comme la convolution de avec un peigne d'impulsion: $\tilde{x}[n]$ $x[n]$

\begin{matrix} (8) & \tilde{x} [n] = x [n] ⋆ \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ [n - k N] \end{matrix}

$\tilde{x}[n]=x[n]\star \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\tag{8}$

Puisque la convolution correspond à la multiplication dans le domaine DTFT, la DTFT de est donnée par la multiplication de avec un peigne Dirac: $\tilde{X}(\omega)$ $\tilde{x}[n]$ $X(\omega)$

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \tilde{X} (ω) & = X (ω) \cdot \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - 2 π k / N) \\ = \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (2 π k / N) δ (ω - 2 π k / N) \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\tilde{X}(\omega)&=X(\omega)\cdot\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\\&=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/N)\delta(\omega-2\pi k/N)\end{align}\tag{9}$

La combinaison de avec établit le résultat . $(9)$ $(4)$ $(6)$

— Matt L.
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flèche vers le bas cette réponse pour la même raison que j'ai la réponse la plus récente de @ hotpaw2. dans cette déclaration: "D'après (1), il est évident que seuls les échantillons de dans l'intervalle sont pris en compte, donc aucune périodicité n'est supposée." $x[n]$ $[0,N−1]$ la conclusion ne découle pas de la prémisse.

— robert bristow-johnson

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@ robertbristow-johnson: Oui. Donnez-moi

échantillons consécutifs, et je vous donne la DFT. Je n'ai rien à supposer du signal en dehors de la plage

, pas même de son existence. C'est la seule chose que je revendique dans cette phrase, et c'est évidemment vrai. Pour calculer la DFT, je n'ai besoin de rien savoir, sauf les valeurs de l'intervalle

. Je ne sais pas comment vous pourriez mal comprendre ou mal lire ma déclaration. Si c'est un problème de formulation, je serais heureux de clarifier ma phrase, mais en termes de contenu, c'est en fait trivial.

N

$N$

[0, N - 1]

$[0,N-1]$

[0, N - 1]

$[0,N-1]$

— Matt L.

4

lire l'autre réponse ci-dessous et ma réponse à l'autre fil. il ne s'agit pas de ce que vous supposez à propos de

dehors de

. il s'agit de ce que la transformation "suppose" (si on nous permet d'anthropomorphiser un peu) à propos de

dehors de

. nous pouvons découvrir ce que la transformation suppose lorsque nous invoquons une opération dans un domaine qui décale l'autre domaine d'une quantité entière.

x [n]

$x[n]$

0 \leq n \leq N - 1

$0 \le n \le N-1$

x [n]

$x[n]$

0 \leq n \leq N - 1

$0 \le n \le N-1$

— robert bristow-johnson

@MattL. (9) devrait se lire

au lieu de

= \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] \cdot δ (ω - 2 π k / N)

$=\dfrac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot \delta\left(\omega-2\pi k /N\right)$

= \frac{2 π}{N} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (2 π k / N) \cdot δ (ω - 2 π k / N)

$=\dfrac{2\pi}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/ N)\cdot \delta\left(\omega-2\pi k /N\right)$

— jomegaA

@jomegaA: Non dans les deux cas. Comme indiqué dans la dernière phrase de ma réponse, le résultat final (6) est conclu en combinant (9) avec (4), donc bien sûr

, mais en (9) il est dérivé du DTFT

. Et concernant le facteur d'échelle

, il doit absolument être là. Ne confondez pas les expressions utilisant

et

, elles ont des facteurs d'échelle différents.

X [k] = X (2 π k / N)

$X[k]=X(2\pi k/N)$

X (ω)

$X(\omega)$

2 π / N

$2\pi/N$

ω

$\omega$

f

$f$

— Matt L.

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Il vient de la définition du signal du domaine temporel:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{\frac{2 π i n k}{N}}

$x \left[ n \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X \left[ k \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$

Vous pouvez voir par définition que $x \left[ n \right] = x \left[ n + N \right]$ .
En revanche la DFT reconstruit parfaitement les N échantillons du signal.
Par conséquent, vous pouvez conclure qu'il suppose une continuation périodique de celui-ci.

Un autre point de vue consisterait à considérer la DFT comme une série de Fourier discrète finie (c'est en fait, jetez un œil à la série de Fourier discrète - DFS ), ce qui bien sûr indique que le signal est périodique (la sommation finie des signaux avec la période $T$ est un signal qui a une période $T$ ).

— Royi
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Je ne vois pas comment cela vient de la définition.

— user10839

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@ user10839: Évaluez simplement

et vous verrez qu'il est égal à

. Comme indiqué dans la réponse, la DFT n'est qu'une série de Fourier du signal du domaine temporel. La longueur finie du signal dans le domaine temporel est considérée comme la période fondamentale.

x [n + N]

$x[n+N]$

x [n]

$x[n]$

— Matt L.

@ user10839, branchez-le simplement dans l'équation. L'exposant peut être défini avec les fonctions cosinus et sinus qui, comme on peut le voir, ont une période de

.

\frac{n k}{N}

$\frac{nk}{N}$

— Royi

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DFT n'est pas le DFS. C'est pédant, mais DFT vous donne les coefficients de la série de Fourier. Il est important de noter que la DFT est comme toutes les autres transformations linéaires. C'est une multiplication matricielle. La matrice est orthonormée, ce qui la rend agréable. On peut également montrer que les coefficients de sortie sont égaux à l'expansion correspondante de la série de Fourier des données, mais la transformée de Fourier n'est pas la série de Fourier (type non concordance: p).

— thang

@thang, je n'ai aucune idée de ce que tu veux dire. Le DFT est le DFS. Ce sont les mêmes. C'est facile à voir. Attention, il s'agit de la série Fourier discrète et non de la série Fourier (avec intégrales). Jetez un œil ici en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_series et voyez que c'est DFT.

— Royi

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C'est une supposition inutile (et souvent fausse). La DFT n'est qu'une transformation de base d'un vecteur fini.

Les vecteurs de base de la DFT se trouvent être des extraits de fonctions périodiques infiniment extensibles. Mais il n'y a rien d'intrinsèquement périodique à propos de l'entrée ou des résultats DFT, sauf si vous étendez les vecteurs de base en dehors de l'ouverture DFT. De nombreuses formes d'analyse de signal ne nécessitent aucune extension ou hypothèse en dehors de la fenêtre échantillonnée ou du vecteur de données finies.

Tout artefact de "fuite" peut également être supposé provenir d'une convolution de la fenêtre rectangulaire par défaut avec un signal qui n'est pas périodique ou dont la périodicité ou la stationnarité sont inconnues. Cela a beaucoup plus de sens lors de l'analyse de fenêtres FFT superposées, où toute hypothèse de périodicité en dehors d'une fenêtre DFT ou FFT peut être incompatible avec les données d'autres fenêtres.

La périodicité peut rendre le calcul reliant la DFT à la DTFT plus maniable. Mais toute relation avec la DTFT peut ou non être nécessaire lors de l'utilisation effective d'une FFT pour le traitement du signal (selon exactement quelles propriétés de transformée de Fourier sont nécessaires pour une analyse plus approfondie de la méthode de traitement).

— hotpaw2
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flèche vers le bas pour la même raison que j'ai fait descendre votre réponse la plus récente à ce sujet.

— robert bristow-johnson

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Ok, ma réponse sera quelque peu différente des autres réponses. ma réponse accepte la prémisse de la question plutôt que nie la prémisse de la question.

la raison pour laquelle la DFT "suppose" que le signal d'entrée (le signal à transformer, ce que je suppose que l'OP signifie par "signal transformé") est périodique parce que la DFT adapte une collection de fonctions de base à ce signal d'entrée, qui toutes sont périodiques.

considérer un ensemble différent de fonctions de base:

g_{k} (u) ≜ u^{k} 0 \leq k < N

$g_k(u) \triangleq u^k \quad \quad 0 \le k < N$

et étant donné échantillons d'entrée: $N$

x [n] 0 \leq n < N

$x[n] \quad \quad 0 \le n < N$

nous pouvons ajuster une somme linéaire de ces fonctions de base à la séquence d'entrée $g_k(n)$

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] g_{k} (n) \\ = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] n^{k} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] n^k \\ \end{align}$

avec une sélection judicieuse des coefficients . calculer tout nécessite de résoudre équations linéaires avec inconnues. vous pouvez utiliser l'élimination gaussienne pour le faire. $X[k]$ $X[k]$ $N$ $N$

avec les valeurs correctes pour pour , nous pouvons nous assurer que la somme de ces fonctions de puissance (qui est un polynôme d'ordre)) sera évaluée exactement à pour chaque tel que . $N$ $X[k]$ $0 \le k \le N-1$ $(N-1)$ $x[n]$ $n$ $0 \le n \le N-1$

Et si vous utilisez cette somme pour dépasser l'intervalle de ? vous pouvez l'évaluer pour tout . vous remarquerez que le comportement de cette fonction sera celui d'un polynôme d'ordre car c'est ce qu'il est. pour assez grand, seule la puissance la plus élevée avec un coefficient non nul établira la tendance pour le extrapolé . $0 \le n \le N-1$ $n$ $(N-1)$ $n$ $x[n]$

maintenant, avec la DFT, nous adaptons un ensemble différent de fonctions de base à notre séquence d'entrée:

g_{k} (u) ≜ \frac{1}{N} e^{+ j 2 π k u / N} 0 \leq k < N

$g_k(u) \triangleq \frac{1}{N} e^{+j 2 \pi k u/N} \quad \quad 0 \le k < N$

\begin{aligned} x [n] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] g_{k} (n) \\ = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{+ j 2 π n k / N} \end{aligned}

$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{+j2\pi n k/N} \\ \end{align}$

$X[k]$

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits^{N-1}_{n=0} x[n] \ e^{-j2\pi n k/N}$

$\frac{1}{N}$ $\frac{1}{N}$ $x[n]$ $X[k]$ $\sqrt{\frac{1}{N}}$

$N$ $x[n]$ $x[n]$ $x[n]$ $N$

— robert bristow-johnson
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pour un peu plus de polémique, où je conteste l'idée que la DFT ne prolonge pas nécessairement périodiquement les données qui lui sont transmises, veuillez regarder cette réponse précédente de moi . je préfère ne pas le répéter ici.

— robert bristow-johnson

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La DFT est discrète. DTFT est continu. Nous pouvons obtenir la DFT de DTFT en l'échantillonnant avec le train d'impulsions de la bonne période, ce qui est en fait égal à la multiplier par le train d'impulsions. La multiplication dans le domaine de la transformation est égale à la convolution dans le domaine en temps discret, cela implique la périodicité du signal.

— apprenant
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DTFT est continu? Comment venir?

— jojek

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Le résultat du DTFT est continu (en fréquence).

— Deve

En effet - vous devez donc le déclarer clairement pour éviter tout malentendu et fournir des équations adéquates.

— jojek

@jojek C'est vrai, je pense aussi que cette réponse pourrait être améliorée par certaines équations

— Deve

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Je vais ajouter plus de détails très bientôt.

— apprenant

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Seul DFT est pratique dans le monde numérique discret en raison de l'hypothèse périodique sur les deux domaines. (Si vous l'appelez comme ça.) Parce que le signal non périodique sur un domaine provoque un signal continu sur l'autre et vous ne pouvez stocker un signal discret que dans la mémoire numérique. Vous devez donc supposer que les signaux sont périodiques sur les deux domaines pour le rendre discret sur les deux domaines.

Lorsque vous calculez DTFT, vous obtenez un signal continu dans le domaine fréquentiel comme sortie.
Je ne pense pas que vous utiliserez la même procédure lorsque vous calculerez la DFT en pratique. Lorsque vous avez réellement calculé DTFT et DFT, vous comprendrez que les deux calculs de transformation sont des histoires différentes.

— Curious Sam
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Comme le signal est périodique, le signal décalé dans le temps ne change pas la magnitude absolue du domaine fréquentiel.

X [k] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [n] e^{\frac{2 π je n k}{N}}

$X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$

e^{\frac{- 2 π je ré k}{N}} X [k] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [n - ré] e^{\frac{2 π je n k}{N}} e^{\frac{- 2 π je ré k}{N}}

${e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n - D \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}{e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}$

Soit dit en passant, rien ne vous empêche de prendre la FFT d'un signal non périodique, mais là, il est peu utile en pratique si aucune des transformations ne fonctionne.

— FreedomToWin
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