Vous pouvez également approximer la fonction racine carrée en utilisant la méthode de Newton . La méthode de Newton est un moyen d'estimer où se trouvent les racines d'une fonction. C'est aussi une méthode itérative où le résultat de l'itération précédente est utilisé dans l'itération suivante jusqu'à la convergence. L'équation de la méthode de Newton pour deviner où se trouve la racine d'une fonction étant donné une supposition initiale x 0 est définie comme suit:F( x )X0
X1= x0- f( x0)F′( x0)
est la première estimation de l'emplacement de la racine. Nous continuons de recycler l'équation et d'utiliser les résultats des itérations précédentes jusqu'à ce que la réponse ne change pas. En général, pour déterminer la supposition de la racine à l'itération ( n + 1 ) , étant donné que la supposition à l'itération n est définie comme:X1( n + 1 )n
Xn + 1= xn- f( xn)F′( xn)
Pour utiliser la méthode de Newton pour approximer la racine carrée, supposons que l'on nous donne un nombre . En tant que tel, pour calculer la racine carrée, nous devons calculer √une En tant que tel, nous cherchons à trouver une réponse telle quex= √une--√ . Mettre les deux côtés au carré et déplacerade l'autre côté de l'équation donnex2-a=0. En tant que tel, la réponse à cette équation est √x = a--√uneX2- a = 0 et est donc laracinede la fonction. En tant que tel, soitf(x)=x2-al'équation dont nous voulons trouver la racine. En substituant ceci dans la méthode de Newton,f′(x)=2x, et donc:une--√F( x ) = x2- unF′( x ) = 2 x
xn+1=1
Xn + 1= xn- x2n- un2 xn
Xn + 1= 12( xn+ aXn)
Par conséquent, pour calculer la racine carrée de , nous devons simplement calculer la méthode de Newton jusqu'à ce que nous convergions. Cependant, comme l'a noté @ robertbristow-johnson, la division est une opération très coûteuse - en particulier pour les microcontrôleurs / DSP avec des ressources limitées. De plus, il peut y avoir un cas où une estimation peut être 0, ce qui entraînerait une erreur de division par 0 en raison de l'opération de division. En tant que tel, ce que nous pouvons faire est d'utiliser la méthode de Newton et de résoudre la fonction réciproque à la place, c'est-à-dire 1une . Cela évite également toute division, comme nous le verrons plus loin. Équerrage des deux côtés et déplacement √1X= a--√ vers la gauche donne donc 1une--√. Par conséquent, la solution à ce problème serait11X2- a = 0 . En multipliant para, nous obtiendrions le résultat souhaité. Encore une fois, en utilisant la méthode de Newton, nous avons donc:1une√une
xn+1=xn-1
Xn + 1= xn-f( xn)F′( xn)
xn+1=1Xn + 1= xn- 1( xn)2- un- 2( xn)3
Xn + 1= 12( 3 xn- ( xn)3a )
Cependant, il y a un avertissement que nous devons considérer lors de l'examen de l'équation ci-dessus. Pour les racines carrées, la solution doit être positive et donc pour que les itérations (et le résultat) soient positifs, la condition suivante doit être remplie:
3 xn- ( xn)3a > 0
3 xn> ( xn)3une
( xn)2a < 3
Par conséquent:
( x0)2a < 3
X0X0X0dix- 6 environ).
Comme votre balise recherche un algorithme C, écrivons-en un très rapidement:
#include <stdio.h> // For printf
#include <math.h> // For fabs
void main()
{
float a = 5.0; // Number we want to take the square root of
float x = 1.0; // Initial guess
float xprev; // Root for previous iteration
int count; // Counter for iterations
// Find a better initial guess
// Half at each step until condition is satisfied
while (x*x*a >= 3.0)
x *= 0.5;
printf("Initial guess: %f\n", x);
count = 1;
do {
xprev = x; // Save for previous iteration
printf("Iteration #%d: %f\n", count++, x);
x = 0.5*(3*xprev - (xprev*xprev*xprev)*a); // Find square root of the reciprocal
} while (fabs(x - xprev) > 1e-6);
x *= a; // Actual answer - Multiply by a
printf("Square root is: %f\n", x);
printf("Done!");
}
Il s'agit d'une implémentation assez basique de la méthode de Newton. Notez que je continue de diminuer de moitié la supposition initiale jusqu'à ce que la condition dont nous avons parlé plus tôt soit satisfaite. J'essaie également de trouver la racine carrée de 5. Nous savons que cela est à peu près égal à 2,236 environ. L'utilisation du code ci-dessus donne la sortie suivante:
Initial guess: 0.500000
Iteration #1: 0.500000
Iteration #2: 0.437500
Iteration #3: 0.446899
Iteration #4: 0.447213
Square root is: 2.236068
Done!
une
Initial guess: 0.015625
Iteration #1: 0.015625
Iteration #2: 0.004601
Iteration #3: 0.006420
Iteration #4: 0.008323
Iteration #5: 0.009638
Iteration #6: 0.010036
Iteration #7: 0.010062
Square root is: 99.378067
Done!
Comme vous pouvez le voir, la seule chose qui est différente est le nombre d'itérations nécessaires pour calculer la racine carrée. Plus le nombre de ce que vous voulez calculer est élevé, plus il faudra d'itérations.
Je sais que cette méthode a déjà été suggérée dans un article précédent, mais je me suis dit que je dériverais la méthode et fournirais du code!