Transformation de Fourier discrète réelle

J'essaie de comprendre la vraie DFT et la DFT et pourquoi la distinction existe.

D'après ce que je sais jusqu'à présent, la DFT utilise pour les vecteurs de base et donne la représentation La somme est écrite de à pour des raisons historiques je pense au lieu de l'écrire d'une manière analogue à la série de Fourier avec la somme allant de à : Ceci s'appuyant sur une anomalie particulière de la DFT où les hautes fréquences sont les mêmes que les fréquences négatives: . $e^{i2\pi kn/N}$

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

Poursuivant l'analogie avec la série de Fourier, le DFT réel donne la représentation Ceci peut être considéré comme l'appariement avec dans la représentation DFT où la somme varie de à . Cela ressemble beaucoup à l'appariement qui relie les deux représentations d'un Série de Fourier:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

Ma questionalors pourquoi la DFT est-elle tellement plus répandue que la vraie DFT? On pourrait s'attendre à ce que, puisque le DFT réel utilise des sinus et cosinus de valeur réelle comme base et représente ainsi mieux l'image géométrique que les gens l'aiment davantage. Je peux voir pourquoi la DFT et la transformée de Fourier continue seraient préférées dans un sens théorique car l'algèbre des exponentielles est plus simple. Mais en ignorant l'algèbre plus simple, d'un point de vue pratique de calcul appliqué, pourquoi la DFT serait-elle plus utile? Pourquoi la représentation de votre signal avec des exponentielles complexes serait plus utile dans diverses applications de physique, de parole, d'image, etc. que de décomposer votre signal en sinus et cosinus. Aussi, s'il y a quelque chose de subtil qui me manque dans mon exposition ci-dessus, je voudrais savoir: je '

dft

— user782220
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La transformée de Fourier discrète réelle est importante parce que l'application de la DFT habituelle à une séquence réelle entraîne une certaine redondance, en ce que pour une séquence réelle de longueur avec la transformation correspondante , la séquence est précisément le conjugué complexe de la séquence . Il va donc de soi que l'on n'a besoin que des entrées correspondant aux fréquences positives de la transformée. On rencontrera également la soi-disant transformée de Hartley dans ce contexte. Les deux approches sont utilisées.

N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

BTW: Je recommande fortement de lire ces deux articles sur la vraie transformée de Fourier et la transformée de Hartley; ils expliquent bien l'intérêt de ces méthodes en dehors de la DFT elle-même.

Est-il vrai que la matrice du RDFT et la matrice du DFT sont liées par un changement de base? Et que le changement de base est vraiment une réflexion parallèle à la façon dont la série de Fourier peut être représentée de deux manières avec des coefficients liés par . Et le point clé dans le contexte de la DFT est que les fréquences supérieures doivent être considérées comme les fréquences négatives afin que son possible de faire l'appariement pour obtenir des sinus et des cosinus comme dans la série Fourier, donnant au RDFT

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

— user782220

L'un des chapitres de Van Loan répond à votre question en détail. Cela suppose une certaine compétence dans la manipulation des produits Kronecker.

À tout le moins, vous devriez avoir moins de questions que vous n'en avez actuellement.

L'avantage de la DFT complexe ou de la transformée de Fourier complexe ou de la série de Fourier complexe est que les systèmes linéaires ont la belle propriété que la réponse à est . (Ici, peut être une constante complexe). La sortie n'est donc qu'un multiple scalaire de l'entrée. Plus important encore, si nous avons une représentation de l'entrée comme une somme pondérée d'exponentielles complexes, la sortie n'est qu'une autre somme pondérée des mêmes exponentielles. Différents poids, mais même ensemble d'exponentielles . De plus, chaque nouveau poids est obtenu en multipliant l'ancien poids par un nombre approprié. $A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$

Bien sûr, aucun système physique n'a de signaux de valeurs complexes entrant et sortant; du moins, pas aujourd'hui même si on peut toujours espérer de meilleures choses à l'avenir. En attendant, nous prenons des parties réelles des signaux complexes, ou obtenons la réponse à ou via la linéarité et la superposition et l'utilisation libérale de $\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ \sin (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

En revanche, la réponse à est de la forme . Ainsi, bien que la linéarité et la superposition, etc. fonctionnent toutes, la sortie pourrait bien nécessiter l'utilisation de fonctions de base différentes de celles de l'entrée. Très étroitement liés, bien sûr, mais toujours éventuellement différents et peut-être plus de fonctions de base pourraient être nécessaires. Par exemple, l'entrée est représentée par une fonction de base, la sortie par deux fonctions de base. On peut faire valoir que les fonctions complexes nécessitent deux fois plus de travail que les fonctions réelles et donc toutes les économies sont purement imaginaires (jeu de mots), mais les représentations complexes permettent $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ traitement uniforme, contrairement aux représentations sin / cos. Rapide! Étant donné que la réponse à est , quelle est la réponse à ? Vous devez y travailler un peu, vous devrez peut-être invoquer des formules telles que et ainsi de suite. Avec des exponentielles complexes, la vie est beaucoup plus facile. $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$

Mais, comme dans la vraie vie, votre kilométrage peut varier, et si vous pensez que les représentations du péché / cos sont le chemin à parcourir et que les exponentielles complexes doivent être évitées, vous êtes libre de suivre votre cœur. Si vous avez du mal à communiquer vos idées à vos collègues, patrons, clients ou consultants, ce sera leur perte, pas la vôtre.

— Dilip Sarwate
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